为啥这段代码使用 Math.pow 打印“HELLO WORLD”？

Posted 2023-02-22

【中文标题】为啥这段代码使用 Math.pow 打印“HELLO WORLD”？

【英文标题】：Why does this code using Math.pow print "HELLO WORLD"?为什么这段代码使用 Math.pow 打印“HELLO WORLD”？

【发布时间】：2018-10-31 06:27:27

【问题描述】：

我发现了以下代码。我知道，它看起来不像 this one 使用看似随机的数字那么奇怪/令人兴奋，但它似乎比 this one 在大数字上使用位移更复杂：

long[] c = 130636800L, -5080148640L, 13802573088L, -14974335980L, 8683908340L,
           -3006955245L, 651448014L, -89047770L, 7457160L, -349165L, 6998L;

for (int x = 0; x < 11; x++) 
    long s = 0;
    for (int i = 0; i < 11; i++)
        s += c[i] * Math.pow(x, i);

    System.out.print((char)(s / 1814400));

Code on Ideone

输出：

你好世界

它是如何工作的？是某种形式的加密还是有人为构建它而生气？

【问题讨论】：

提示：如何反转整个计算？！里面没有什么魔法，只是经过一些计算的数字。

“它是如何工作的？” - 现在是铅笔和纸的时间.....

@MitchWheat 也许也可以用计算器。

与其说是“加密”不如说是“混淆”。

没有人疯狂地建造它，但他们可能有很多空闲时间。 :) 他们只是获取消息的每个代码点，对其应用一些操作，最终得到一个值，然后编写一个程序来反转这些操作以恢复原始代码点。有人可能会在答案部分提供完整的详细信息。

【参考方案1】：

让我们开始一些数学：

解出以下方程式，即可得到答案。这些方程有一个唯一解，因为方程的数量等于未知变量的数量。

设c[0] = 72，即'H'的ASCII值。

为了清楚起见：我使用^ 来提高惯例。现在解决：

1^0 * c[0] + 1^1 * c[1] + 1^2 * c[2] + 1^3 * c[3] + 1^4 * c[4] + 1^5 * c[5] + 1^6 * c[6] + 1^7 * c[7] + 1^8 * c[8] + 1^9 * c[9] + 1^10 * c[10] = 69
2^0 * c[0] + 2^1 * c[1] + 2^2 * c[2] + 2^3 * c[3] + 2^4 * c[4] + 2^5 * c[5] + 2^6 * c[6] + 2^7 * c[7] + 2^8 * c[8] + 2^9 * c[9] + 2^10 * c[10] = 76
3^0 * c[0] + 3^1 * c[1] + 3^2 * c[2] + 3^3 * c[3] + 3^4 * c[4] + 3^5 * c[5] + 3^6 * c[6] + 3^7 * c[7] + 3^8 * c[8] + 3^9 * c[9] + 3^10 * c[10] = 76
4^0 * c[0] + 4^1 * c[1] + 4^2 * c[2] + 4^3 * c[3] + 4^4 * c[4] + 4^5 * c[5] + 4^6 * c[6] + 4^7 * c[7] + 4^8 * c[8] + 4^9 * c[9] + 4^10 * c[10] = 79
5^0 * c[0] + 5^1 * c[1] + 5^2 * c[2] + 5^3 * c[3] + 5^4 * c[4] + 5^5 * c[5] + 5^6 * c[6] + 5^7 * c[7] + 5^8 * c[8] + 5^9 * c[9] + 5^10 * c[10] = 32
6^0 * c[0] + 6^1 * c[1] + 6^2 * c[2] + 6^3 * c[3] + 6^4 * c[4] + 6^5 * c[5] + 6^6 * c[6] + 6^7 * c[7] + 6^8 * c[8] + 6^9 * c[9] + 6^10 * c[10] = 87  
7^0 * c[0] + 7^1 * c[1] + 7^2 * c[2] + 7^3 * c[3] + 7^4 * c[4] + 7^5 * c[5] + 7^6 * c[6] + 7^7 * c[7] + 7^8 * c[8] + 7^9 * c[9] + 7^10 * c[10] = 79  
8^0 * c[0] + 8^1 * c[1] + 8^2 * c[2] + 8^3 * c[3] + 8^4 * c[4] + 8^5 * c[5] + 8^6 * c[6] + 8^7 * c[7] + 8^8 * c[8] + 8^9 * c[9] + 8^10 * c[10] = 82  
9^0 * c[0] + 9^1 * c[1] + 9^2 * c[2] + 9^3 * c[3] + 9^4 * c[4] + 9^5 * c[5] + 9^6 * c[6] + 9^7 * c[7] + 9^8 * c[8] + 9^9 * c[9] + 9^10 * c[10] = 76
10^0 * c[0] + 10^1 * c[1] + 10^2 * c[2] + 10^3 * c[3] + 10^4 * c[4] + 10^5 * c[5] + 10^6 * c[6] + 10^7 * c[7] + 10^8 * c[8] + 10^9 * c[9] + 10^10 * c[10] = 68

注意未知数的数量是c[1] 到c[10]，所以是10。我们知道c[0] = 72，所以它不是未知数，方程的数量是10。

现在我们只需将所有数字乘以 1814400，然后除以答案中的相同，因此它不会改变任何内容，或者通过求解方程式找到的答案可能不是整数，因此乘以 1814400 得到整数.

您可以使用this code for solving simultaneous equations of any order 解这些方程。

【参考方案2】：

受answer from user9823668 的启发，我找到了另一种方法来逆向计算。代码的内循环（包括从输出行开始的除法）基本表示如下多项式：

该多项式是针对代码外循环中的值 0 到 10 计算的，并产生结果 ASCII 字符。所以问题是：如何适应polynomial through given consecutive data points？

my search results 之一指向术语Newton polynomial。这是给定数据点集的所谓插值多项式。由于多项式是针对 0 到 10 的值计算的，所以这里有 xi = i 的 special case。因此，为了构造上述多项式，我们必须计算一些二项式系数。

首先我们必须在数据点上计算divided differences（即ASCII编码的函数输出）：

 0: H = 72
 1: E = 69  -3
 2: L = 76   7  10
 3: L = 76   0  -7  -17
 4: O = 79   3   3   10   27
 5:   = 32 -47 -50  -53  -63  -90
 6: W = 87  55 102  152  205  268   358
 7: O = 79  -8 -63 -165 -317 -522  -790 -1148
 8: R = 82   3  11   74  239  556  1078  1868  3016
 9: L = 76  -6  -9  -20  -94 -333  -889 -1967 -3835 -6851
10: D = 68  -8  -2   7    27  121   454  1343  3310  7145 13996

然后，每列中最上面的条目是我们构建插值多项式所需的系数：

72
-     3 /       1 x
+    10 /       2 x(x-1)
-    17 /       6 x(x-1)(x-2)
+    27 /      24 x(x-1)(x-2)(x-3)
-    90 /     120 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
+   358 /     720 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)
-  1148 /    5040 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)
+  3016 /   40320 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)
-  6851 /  362880 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)
+ 13996 / 3628800 x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)(x-8)(x-9)

这里，分母代表n!（参见special case）。 通过扩展这个公式（例如，通过使用WolframAlpha），您可以得到上面显示的多项式。如果有人想知道，多项式如下所示：