使用最小生成树查找从 A 到 B 的路径 - C/C++

Posted 2023-02-22

【中文标题】使用最小生成树查找从 A 到 B 的路径 - C/C++

【英文标题】：Finding path from A to B using a minimal spanning tree - C/C++

【发布时间】：2012-07-09 16:03:39

【问题描述】：

假设我们找到了一个最小生成树。现在，我们只需要 MST 中从 A 到 Z 的路径。我们如何在 O(n^2) 时间内做到这一点？

我们从根 A 开始。然后我们查看 Ax 形式的树中的所有边（其中 x 是任何顶点）。

然后，假设我们找到：AB、AC、AD 等... 然后对于每一个，我们寻找形式的边缘：Bx，Cx，Dx...这显然不是 O(n^2)。

那么在给定 MST 的情况下，找到路径 A -> Z 的更好/有效方法是什么？

谢谢

【问题讨论】：

边权重是点之间的距离，所以它们不一定是整数。

DFS 将如何工作？我们从 MST 创建 DFS？

@user809240，为什么 O(n^2) 是一个目标？使用 MST 超过 O(n) 将很难做到（因为它有 n-1 个边缘用于 n 个点）

【参考方案1】：

Depth-first search 就足够了，在最坏的情况下 O(|V| + |E|)。您的输入是 MST 这一事实意味着您不必担心任何循环检测，就像在一般图表中那样。

【讨论】：

还应注意，在 MST 中，|E| 最多为|V|，而不是一般图中的|V|^2，因此算法将是O(|V|)。比O(|V|^2) 的目标快得多。

【参考方案2】：

查找Minimum Spanning Tree，你会发现它是一个将所有顶点连接在一起的最小子图。这意味着每条边都将最多使用一次。您可以只使用 DFS 或 BFS 来查找所需的路径，而无需检查循环，因为您已经拥有 MST。

【参考方案3】：

在创建 MST 期间，您可以填写 parent[]，因此在此之后使用简单的回溯，您将能够在没有 DFS 的情况下找到路径。

【参考方案4】：

如果你仔细想想，Prim 寻找 MST 的算法实际上只是 Dijkstra 的伪装。因此，如果您找到一条，MST 已经为您提供了最短路径（如上所述，想想 DFS）。