非负加权网格中从单个源到单个目的地的最短路径 (n,5)

Posted 2023-02-22

【中文标题】非负加权网格中从单个源到单个目的地的最短路径 (n,5)

【英文标题】：shortest path from single source to single destination in a non-negative weighted grid (n,5)

【发布时间】：2014-06-05 15:26:13

【问题描述】：

我有一个 n 列 5 行的网格。

每条边都是加权且非负的。我需要从左下角开始，以最短的路径到达右上角。

我发现它的复杂度为 O(N^2)，但我需要它的线性时间为 O(n)。

我将不胜感激。

我如何在线性时间内解决网格 (n,2)：

左下角是0，然后我开始通过一些比较来寻找它的邻居。在我从一开始就找到他们的最小值后，我去他们的邻居那里做同样的事情，直到我走到最后。

我对每个顶点和每条边进行一次德尔特，因此它是线性的。

提前谢谢你，

亚龙。

【问题讨论】：

您可以使用 Dijkstra 的最短路径算法。但它使用堆数据结构在 O(NlogN) 时间内运行。

生成的路径 (c1,c2,...,cm) 是否可能包含所有网格单元？或者这是统一成本搜索？

【参考方案1】：

在此图中，您有5n 顶点和5*4*n 边，所以V=5n 和E=20n。 您可以使用 priority_queue 轻松应用 Dijkstra 来检索最小顶点，这将导致 O(VlogV + ElogE) 的时间复杂度，在这种情况下为 O(N*logN)。

Dijkstra wiki link.它包含sudo代码。

如果您在 google 中搜索，您也可以找到它的 C++ 实现，但请确保它使用 priority_queue，否则将花费 log(N^2) 时间。如果您没有找到它，请给我留言，我会将其发送给您。

【讨论】：

谢谢。问题是 dijkstra 算法适用于任何非负加权图，这里我有一个网格（平面图），我想使用网格的属性来降低复杂度。

我正在使用您的网格属性，将顶点的最大边数设为 4，这会导致时间复杂度，我认为 O(NlogN) 将满足您的需求，因为它是只比 O(N) 高一点。

但 dijkstra 无论如何都是 O(NlogN)，即使图形不是网格。我正在为 (n,5) 网格寻找独特的东西。

@user76508 图表就是图表，无论您如何表示它。

如果您有一个网格 (n,2)，则可以在线性时间内求解。我正在尝试对 (n,5) 做同样的事情。

【参考方案2】：

请随时纠正我，但你不能在线性时间内做到，这或多或少是不可能的*

使用网格格式并不容易使用。

*不使用特殊约束

【讨论】：

我在线性时间内成功地解决了网格 (n,2)，这就是为什么我相信网格 (n,5) 在线性时间内是可能的。

因为在 (n,2) 中你可能并没有真正在线性时间内做到这一点，所以你在 N=2 的 O(M*N) 中做到了。如果您发布您的算法，我们可以进行更多讨论

我发布了我的网格 (n,2) 算法。

讨厌打破它，如果你使用无向加权图你没有线性地做它。假设您只处理了每个边和顶点一次（您不应该这样做，我认为您不这样做），当 E V) 中完成了它。上面发布的算法优于 O(E V）。此外，您没有只处理每个边和顶点一次，因为您应该处理中间边两次，每个邻居一次。

没有中间边缘 - 有顶部边缘和底部边缘。