最长回文子串澄清

Posted 2023-02-22

【中文标题】最长回文子串澄清

【英文标题】：Longest Palindromic Substring clarification

【发布时间】：2017-02-28 01:37:11

【问题描述】：

方法 #3（动态编程）[接受]

为了改进蛮力解决方案，我们首先观察我们如何能够 在验证回文时避免不必要的重新计算。 考虑一下''ababa''的情况。如果我们已经知道 ''bab'' 是回文，显然''ababa'' 肯定是回文，因为左右两端 字母是一样的。

这产生了一个直接的 DP 解决方案，我们首先对其进行初始化 一个和两个字母的回文，并努力找到所有 三个字母回文，等等……

复杂性分析

时间复杂度：O(n^2) 这给了我们一个运行时间 O(n^2) 的复杂度。

空间复杂度：O(n^2)。它使用 O(n^2) 空间 存储表格。

我在网上阅读了上述解决此问题的方法，并对此有一些疑问（如果这不是发帖的正确论坛，请告诉我）。这是我对如何解决这个问题的理解：保存所有单字符回文。然后对于其中的每一个，如果左侧的字符等于右侧的字符，请保留它。如果不满足该条件，请停止处理此子字符串。继续这个直到结束。

这是正确的吗？如果是这样，这如何转化为 O(N^2) 算法？是不是因为在最坏的情况下，我们必须遍历字符串 N 次才能将每个潜在回文数增加一个字符？这部分对我来说并不直观。

【参考方案1】：

你的解释是正确的。 在最坏的情况下，我们需要检查所有长度增加的子字符串。我们首先检查所有长度为 1 的子串，然后检查所有长度为 3 的子串，依此类推。此外，我们还需要考虑"abba" 类型的回文，因此我们还需要检查所有长度相等的候选。所以在最坏的情况下，我们需要验证给定输入字符串的每个可能的子字符串。

长度为n的给定字符串的子字符串总数为n(n + 1)/2

n * (n + 1) / 2 = n ^ 2 / 2 + n / 2 = O(n ^ 2)

可以在O(1) 中对回文进行单个验证步骤，因此总运行时间为O(n ^ 2)。

【讨论】：

为什么回文的验证步骤是 O(1)？它不需要遍历潜在回文的字符吗？

@Sunny 由于您使用 DP 验证回文，您已经知道长度为 n 的子字符串是回文的，并基于此验证长度为 n + 2 的子字符串是回文的。所以单个验证步骤只需要比较两个字符，即O(1)。