找到满足给定条件的排列

Posted 2023-02-22

【中文标题】找到满足给定条件的排列

【英文标题】：Finding the permutation that satisfy given condition

【发布时间】：2017-02-17 13:45:24

【问题描述】：

我想找出nnumber 的所有排列的个数。编号将从1 到n。给定条件是每个ithposition 最多可以有Si 的编号，其中Si 是为数字的每个位置提供的。

1<=n<=10^6
1<=si<=n

例如：

n=5

那么它的所有五个元素将是

1,2,3,4,5

给定每个位置的 Si 为：

2,3,4,5,5

它表明在： 1st位置可以有1 to 2即1,2，但不能是3 to 5中的数字。 相似地， 在2nd 位置只能有编号1 to 3。 在3rd 位置只能有编号1 to 4。 在4th 位置只能有编号1 to 5。 在5th 位置只能有编号1 to 5。 它的一些排列是：

1,2,3,4,5
2,3,1,4,5
2,3,4,1,5 etc.

但这些不可能：

3,1,4,2,5  As 3 is present at 1st position.
1,2,5,3,4  As 5 is present at 3rd position.

我不知道在给定条件下计算所有可能的排列数量。

【问题讨论】：

这是一些编程比赛吗？还是裁判问题？

它不属于任何正在运行的编码竞赛。但它需要我的编码实现。

@coderredoc 已经提到了 n 和 Si 的给定限制。

您需要只需要排列的数量 还是排列本身？对于您的示例，究竟有多少排列是可能的？

@Yuriy 只有排列的次数。

【参考方案1】：

好的，如果我们保证数字 si 以不降序的顺序给出，那么看起来可以计算 O(n) 中的排列数。

直截了当的算法思路如下：

在步骤i 将结果乘以si[i] 的当前值； 我们为位置i 选择了一些数字。只要我们需要排列，这个数字就不能重复，所以将所有其余的si[k] 其中k 从i+1 到末尾（例如n）减1； 将i 增加 1，返回 (1)。

以si: 2 3 3 4 为例说明：

result = 1; 当前si 为“2 3 3 4”，result *= si[0] (= 1*2 == 2)，将 3、3 和 4 减 1； 当前si 为“..2 2 3”，result *= si[1] (= 2*2 == 4)，最后 2 和 3 减 1； 当前si 为“....1 2”，result *= si[2] (= 4*1 == 4)，将最后一个数字减1； 当前si 是“..... 1”，result *= si[3] (= 4*1 == 4)，完成。

但是，由于步数减少，这种简单的方法需要O(n^2)。为了优化它，我们可以很容易地观察到，在 result *= si[i] 时刻，我们的 si[i] 已经精确地减少了 i 倍（当然假设我们从 0 开始）。

因此O(n)方式：

unsigned int result = 1;
for (unsigned int i = 0; i < n; ++i)

    result *= (si[i] - i);

【参考方案2】：

对于每个 si 计算数组中元素的数量，使得 a[i]

【参考方案3】：

要完成 Yuriy Ivaskevych 的回答，如果您不知道 sis 是否按递增顺序排列，您可以对 sis 进行排序，它也可以工作。 如果排列是不可能的，结果将为空或负（例如：1 1 1 1 1）

【参考方案4】：

您可以尝试回溯，这是一种有点硬核的方法，但会奏效。 尝试： http://www.thegeekstuff.com/2014/12/backtracking-example/ 或者google回溯教程C++

【讨论】：

n 最大为 1e6，这会得到 TLE，即使 O(n^2) 也会得到 TLE。

@Alex Banu，我对回溯知之甚少，请解释如何针对这个问题实施回溯。