闭合轮廓绕组数的算法

Posted 2023-02-22

【中文标题】闭合轮廓绕组数的算法

【英文标题】：Algorithm for the Winding Number of a Closed Contour

【发布时间】：2015-10-20 21:52:57

【问题描述】：

假设我有一个由x(p) 和y(p) 两个函数定义的轮廓形状，其中p 是沿形状周边行进的距离，在0 和1 之间进行归一化。例如，关于原点的单位圆将定义为x(p) = sin(2 * pi * p) 和y(p) = cos(2 * pi * p)。

确定一个点是否在该圆内的简单测试是计算该点与原点的距离，然后检测该距离是否小于或等于1。

但是如果我的形状有多个交叉点，并且比圆形复杂得多，该怎么办？

对于由一组点定义的离散形状存在point in polygon 测试。该算法很容易找到，因为它在很多地方都使用过。但是，如果我不想使用形状的离散定义，我可以使用什么算法来确定绕组数，假设形状是在编译时定义的？

【问题讨论】：

***有帮助吗？ en.wikipedia.org/wiki/Winding_number

@MarkRansom 我看到了，我希望它可以用 CS 术语而不是应用数学术语来解释。有离散算法的定义，但就微分几何而言，您在实现它时有点靠自己。

我看到的唯一代码是针对离散段的，你的代码是一种特殊情况。

【参考方案1】：

在多边形测试中推广该点，您可以找到y(p)=0 的所有解，使得x(p)>0 并使用它们的数字的奇偶性。

在圆圈的情况下，cos(2πp)=0 对应于p=(k+1/2)π，并且[0,1) 范围内只有一个值p 对应于sin(2πp)>0。

到目前为止，如果您能解析解出y 方程，那就太好了。否则，您将需要一个可靠的数值求解器，能够找出所有根。另一种方法是使曲线变平（将其绘制为折线，确保最大偏差容限），然后应用多边形算法。

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为了第二个例子，让我们考虑一下 Pascal 的 limaçon，方程为 r = 0.5 + cos Θ，以及沿 X 的一些测试点。

y = (0.5 + cos Θ) sin Θ = 0

对于Θ=0、2π/3、π、4π/3。对应的横坐标为1.5、0、0.5和0。

您可以得出结论，X 轴上的内部点介于 0.5 和 1.5 之间（也位于 0，以退化的方式）。

【讨论】：

第一个建议是我尝试做的，最后我得到了一个正方形，哈哈。根据您的第二个建议，我还认为将曲线“渲染”为一组点会起作用。我将再次尝试第一种方法，看看它对我有什么好处。

@NmdMystery：让我补充一点，如果方程 y=0 无法解析求解，您仍然可以找到一条通过原点的曲线 F(x, y)=0 (x(0=0, y(0)= 0, F(0, 0)=0) 并且延伸得足够远，你可以表达根。

【参考方案2】：

如果您知道形状内部（或外部）的一个点并且该形状是平滑且不相交的，那么您可以将已知点连接到任何其他点并计算它穿过边界的次数。偶数次意味着未知点同样位于内部（或外部）。奇数表示相反。

这是基于乔丹曲线定理。我记得，证明定理需要缠绕数，但应用很简单。

【讨论】：

如果形状相交，并且有区域的绕组数大于 1，该怎么办？

@NmdMystery 。 . .乔丹曲线定理适用于平滑（实际上，我认为是连续的）非相交曲线。如果它们相交，那么您需要将形状分成单独的形状。

【参考方案3】：

如何计算闭合曲线的总曲率（假设它处处可微），然后除以 2PI？请参阅 Wiki 的总曲率页面 here。