softmax函数解释的导数[关闭]

Posted 2023-02-16

【中文标题】softmax函数解释的导数[关闭]

【英文标题】：Derivative of a softmax function explanation [closed]

【发布时间】：2016-10-13 22:40:57

【问题描述】：

我正在尝试计算 softmax 激活函数的导数。我发现了这个：https://math.stackexchange.com/questions/945871/derivative-of-softmax-loss-function 似乎没有人给出正确的推导，我们将如何得到 i=j 和 i!= j 的答案。有人可以解释一下吗！当在 softmax 激活函数的分母中涉及求和时，我对导数感到困惑。

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它与编程无关

是的。神经网络中有一种叫做 softmax 函数的东西，虽然可以使用库，但了解底层数学是一个优势。 @desertnaut

@mLstudent33 我们有不少于 3 个 (!) 专门的 SE 站点来解决此类 非编程 ML 问题，这些问题在这里是题外话；请参阅***.com/tags/machine-learning/info

中的介绍和注意事项

我投票结束这个问题，因为它与 help center 中定义的编程无关，而是关于 ML 理论和/或方法 - 请参阅 ***.com/tags/neural-network/info 中的说明

@mLstudent33 衷心感谢关于 softmax 和库的小型讲座，但我想我明白了 ***.com/questions/34968722/…

【参考方案1】：

求和的导数是导数之和，即：

    d(f1 + f2 + f3 + f4)/dx = df1/dx + df2/dx + df3/dx + df4/dx

为了推导出p_j 相对于o_i 的导数，我们开始：

    d_i(p_j) = d_i(exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k)))

我决定将d_i 用于与o_i 相关的导数，以便于阅读。 使用我们得到的乘积规则：

     d_i(exp(o_j)) / Sum_k(exp(o_k)) + exp(o_j) * d_i(1/Sum_k(exp(o_k)))

查看第一项，如果i != j，导数将是0，这可以用delta function 表示，我称之为D_ij。这给出（对于第一个任期）：

    = D_ij * exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k))

这就是我们原来的函数乘以D_ij

    = D_ij * p_j

对于第二项，当我们单独导出和的每个元素时，唯一的非零项将是 i = k，这给了我们（不要忘记幂规则，因为和在分母中）

    = -exp(o_j) * Sum_k(d_i(exp(o_k)) / Sum_k(exp(o_k))^2
    = -exp(o_j) * exp(o_i) / Sum_k(exp(o_k))^2
    = -(exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k))) * (exp(o_j) / Sum_k(exp(o_k)))
    = -p_j * p_i

将两者放在一起，我们得到了一个非常简单的公式：

    D_ij * p_j - p_j * p_i

如果您真的需要，我们可以将其分为i = j 和i != j 两种情况：

    i = j: D_ii * p_i - p_i * p_i = p_i - p_i * p_i = p_i * (1 - p_i)

    i != j: D_ij * p_i - p_i * p_j = -p_i * p_j

这是我们的答案。

【讨论】：

非常感谢！这很清楚。我不能要求更好的解释了！ :) 我很高兴我现在完全理解了推导。我将把它引用到 math.stack 交换上的未回答者！

@SirGuy 你的第三个表达式不应该是d_i(exp(o_j)) / Sum_k(exp(o_k)) + exp(o_j) * d_i(1/Sum_k(exp(o_k))) 吗？最后一个o_k之前缺少exp

@harveyslash 首先，在您链接到的问题中，您错误地说您将雅可比行列式的元素相加以获得“最终”导数。这是不正确的，而不是将雅可比视为导数，而不是导致导数的中间步骤。

@harveyslash 在我的解决方案中，i 和 j 指的是雅可比矩阵的元素。您似乎认为趋于 0 的“事物”是导数，但它只是偏导数的一部分。您手动写出每个导数（用于 4 个输入），而我处理的是一般情况。

@harveyslash 到达 0 的是子表达式 d_i(exp(o_j))，它是子表达式 d_i(exp(o_j)) / Sum_k(exp(o_k)) 的一部分。仔细看括号，你会看到这是the derivative of exp(o_j)`，相对于o_i 除以Sum over k of exp(o_k)。 Sum_k(exp(o_k)) 相对于o_i 的导数在乘积规则扩展的第二部分处理。这是否有助于解决问题？

【参考方案2】：

对于它的价值，这是我基于 SirGuy 答案的推导：（如果发现任何错误，请随时指出）。

【讨论】：

非常感谢！我只有一个疑问：为什么Σ_k ( ( d e^o_k ) / do_i ) 从第 4 步到第 5 步评估为 e^o_i？如果您能就该问题提供任何见解，我将不胜感激。

@duhaime 好问题。逐一考虑该总和的所有条款，看看每个条款会发生什么。您会看到有两种情况：当 i = k 时，术语是 d/do_i e^o_i，即 e^o_i。当 i != k 时，你会得到一堆零。

【参考方案3】：

假设你有一个形状为 (N, 1) 的数组

import numpy as np

def softmax(x):
    return np.exp(x) / np.sum(np.exp(x))

def softmax_dash(x):
    I = np.eye(x.shape[0])
    return softmax(x) * (I - softmax(x).T)