稀疏矩阵超定线性方程组 c/c++ 库

Posted 2023-02-22

【中文标题】稀疏矩阵超定线性方程组 c/c++ 库

【英文标题】：sparse matrix overdetermined linear equation system c/c++ library

【发布时间】：2011-10-29 14:55:50

【问题描述】：

我需要一个库来解决 Ax=b 系统，其中 A 是一个非对称稀疏矩阵，每行有 8 个条目（它可能非常大）。我认为实现双共轭渐变的库应该没问题，但我找不到一个有效的库（我尝试过 iml++，但 iml++/sparselib++ 包中缺少一些头文件）。有什么建议吗？

【问题讨论】：

你看过boost.org/doc/libs/1_47_0/libs/numeric/ublas/doc/index.htm吗？

是的，但我认为 ublas 只是一个模板库，我看不到任何解决稀疏系统的迭代方法，我错了吗？

有一个稀疏矩阵类。我还没有详细了解是否有求解器，但你可能想看看boost.org/doc/libs/1_47_0/libs/numeric/ublas/doc/… 看看里面是否有你可以使用的东西。

是的，我已经阅读了该页面，但我怀疑是否有任何求解器

【参考方案1】：

存在处理超定系统的标准方法。例如Wikipedia 是这样说的：

一组线性联立方程可以用矩阵形式写成 Ax = y。如果方程多于变量，则系统称为超定系统，并且（通常）没有解。然后系统可以更改为 (A^TA)x = A^Ty。新系统具有与变量一样多的方程（矩阵 A^TA 是方阵），并且可以用通常的方式求解。该解是原始超定系统的最小二乘解，最小化欧几里得范数||Ax − y||，这是原始系统中两侧差异的度量。

因此您可以使用任何标准的方阵稀疏求解器。

我个人使用 Tim Davis 的 CSparse 的直接求解器。 Tim 编写了许多优秀的直接稀疏求解器。事实上，他的UMFPACK 是另一个很好的选择，例如被 MATLAB 使用。请注意，这两个求解器都提供 C 接口。如果您正在寻找具有本机 C++ 接口的东西，那么我无能为力。

我对迭代求解器有一些经验。但是，我发现对于我正在研究的问题，迭代方法对于大型矩阵变得不稳定。我在直接求解器方面取得了更大的成功。当然，根据您的问题引发的矩阵类型，您完全有可能获得相反的体验。

【讨论】：

非常感谢，这很有帮助，我现在正在使用 umfpack（制作一个 Visual Studio 项目来编译它很烦人：D），它似乎工作正常

但是，还有一个问题.. 给定 A，我如何使用 umfpack 解决 A^tAx = A^tb？我的意思是，umfpack 是否给了我一种计算 A^tA 和 A^tb 的方法，或者我必须自己相乘？ （用A^t，我的意思是转置A）

我不熟悉 UMFPACK 例程。正如我所说，我使用CSparse，因为自相矛盾的是，最简单的算法似乎对我的问题表现最好。但我相信你需要自己形成 A^tA 和 A^tb 。当然，CSparse 有做这些产品的例程。我希望 UMFPACK 也会这样做。

我现在正在为 umfpack 使用 eigen 的 (eigen.tuxfamily.org/index.php?title=Main_Page) 绑定，它在我需要的稀疏矩阵上实现了一些操作，并允许我使用干净的接口调用 umfpack 函数，感谢您的帮助跨度>

【参考方案2】：

看起来ARPACK 解决了稀疏非对称矩阵问题。有C++版本

【讨论】：

ARPACK 是一个特征求解器。这很棒，但问题涉及不同的问题。

【参考方案3】：

对于大卫赫弗南的回答：不要忘记一件重要的事情：必须检查/证明矩阵 A 具有线性独立的列，否则可能会发生 (A^T A) 是奇异的（然后它当然不起作用)。