建堆时，堆是唯一的吗？

Posted 2023-02-21

【中文标题】建堆时，堆是唯一的吗？

【英文标题】：When building heap, is heap unique?

【发布时间】：2015-08-13 16:32:51

【问题描述】：

我正在研究堆和堆排序。 有一个数组：arr[8] = 6,9,3,1,8,7,2,11 当我尝试使用代码和铅笔构建堆时，我遇到了两种堆。

使用代码时， 最大堆：11 9 7 6 8 3 2 1

使用插入理论时，MaxHeap : 11 9 7 8 6 3 2 1

我正在使用的代码：

int[] DoHeapSort(int[] value) 
    int length = value.length;

    for (int i = length / 2; i > 0; i--) 
        maxHeapify(value, i, length);
    

    //print Heap
    for(int i = 0 ; i<value.length; i++)
        System.out.println(value[i]);

    return (value);



void maxHeapify(int[] array, int index, int heapSize) 
    int left = index * 2;
    int right = left + 1;
    int max = index;

    if (left <= heapSize && array[left - 1] > array[index - 1]) 
        max = left;
    

    if (right <= heapSize && array[right - 1] > array[max - 1]) 
        max = right;
    

    if (max != index) 
        swap(array, index - 1, max - 1);
        maxHeapify(array, max, heapSize);
    

理论上，在这种情况下，为堆创建另一个数组并按顺序从 6 插入到 11。 （另一方面，代码是就地堆）

两个 maxHeap 结果都满足堆定义。那么堆不是唯一的吗？谢谢

【参考方案1】：

没错。堆约束（即子级不大于父级）并没有完全指定堆，因此通常有不止一种可能的排列方式。

【讨论】：

@user3595632：我会使用 O(n) 就地算法。这是通常的实现方式。

@user3595632: 来自二进制堆上的***：“然而，在 1974 年，Thomas Porter 和 Istvan Simon 证明了插入节点向上移动的平均层数的函数是有上限的由常数 1.6067. ... 因此，平均而言，二进制堆插入具有常数 O(1) 时间复杂度。“链接：en.wikipedia.org/wiki/Binary_heap#Insert

@PieterGeerkens：这很有趣，但没有解决最坏的情况。但是，如果您在该 wikipedia 文章中稍微阅读一下，您会遇到一个更简单的证明，即如果您正确地进行构建，构建堆是最坏情况 O(n)（相反迭代地插入每个元素，这是最坏的情况 O(n log n) )

@user3595632：正是因为堆没有完全确定，所以可以在最坏情况下构建它 O(n)。从堆中提取排序后的序列是 O(n log n)。

@PieterGeerkens：这当然是一个有趣的事实！但我猜 Porter 和 Simon 使用的“平均”概念是基于给定大小的所有可能堆上的概率分布（例如，大小为 n 的堆上的均匀分布），而不是所有可能的序列堆上的插入，否则使用普通插入来构建堆也会产生摊销的 O(n) 最坏情况时间——对吧？

【参考方案2】：

考虑项目1, 2, 3。最大堆有两种有效的安排：

    3              3
  /   \          /   \
 1     2        2     1

3, 1, 2      3, 2, 1

这两个都满足有效最大堆的必要条件。

给定一个完整的堆（即所有级别都已满），您可以交换任何节点的子节点并且仍然有一个有效的堆。或者，更一般地说，只要您保持 shape 属性，您就可以交换任何节点的子节点。

请注意，“交换子项”是指交换锚定在该子项上的整个子树。

除了交换子节点之外，您还可以重新排列节点。

例如，考虑这个最大堆：

      10
    /    \
   9      8
  / \    / \
 7   6  5   4

最后一层节点的顺序无关；任何一个叶节点都可以是 8 或 9 的子节点。这四个子节点有 24 种可能的排列。

其他安排也是可能的。例如：10,9,6,7,8,5,4。

您获得哪种安排取决于您的插入和删除算法的具体情况，以及插入和删除的顺序。或者，在从数组构建堆的情况下（即 O(n) 方法），开始时数组中的项目顺序。