合并两个最大堆的算法？

Posted 2023-02-21

【中文标题】合并两个最大堆的算法？

【英文标题】：Algorithm for merging two max heaps?

【发布时间】：2010-12-08 09:30:06

【问题描述】：

有没有一种有效的算法来合并存储为数组的 2 个最大堆？

【问题讨论】：

是的。到目前为止，您尝试过什么？

高效是什么意思？

好吧，如果我只是以随机顺序将每个元素插入新堆，我认为这将是 O(nlogn) 的平均值。所以我可能正在寻找 O(log(n)^2)

把评论放在问题里面，说明你已经思考过这个问题，并且对除了琐碎的解决方案感兴趣。

@Yaron：您可以在 O(N + k) 中构建新堆。只需连接数组并使用默认方法构建一个新堆。

【参考方案1】：

这取决于堆的类型。

如果它是一个标准堆，其中每个节点最多有两个子节点，并且由于叶子最多位于两个不同的行上而被填满，那么合并的 O(n) 不会更好。

只需将两个数组放在一起并从中创建一个新堆，这需要 O(n)。

为了获得更好的合并性能，您可以使用另一个堆变体，例如可以在 O(1) 摊销中合并的 Fibonacci-Heap。

更新： 请注意，将第一个堆的所有元素一个接一个地插入第二个堆会更糟糕，反之亦然，因为插入需要 O(log(n))。 正如您的评论所述，您似乎一开始并不知道堆是如何以最佳方式构建的（同样是标准二叉堆）

创建一个数组并以任意顺序放入两个堆的元素 现在从最低级别开始。最低级别包含大小为 1 的普通最大堆，因此此级别已完成 向上移动一个级别。当“子堆”之一的堆条件被违反时，将“子堆”的根交换为其更大的孩子。之后，2级完成 移至第 3 级。当违反堆条件时，像以前一样处理。将其与更大的孩子交换并递归处理，直到所有内容都匹配到第 3 级 ... 当您到达顶部时，您在 O(n) 中创建了一个新堆。

我在这里省略了一个证明，但您可以解释这一点，因为您已经在底层完成了大部分堆，您不必交换太多内容来重新建立堆条件。您已经在小得多的“子堆”上进行了操作，这比将每个元素插入其中一个堆时要好得多 => 然后，您每次都将在整个堆上进行操作，每次都需要 O(n) .

更新 2：二项式堆允许在 O(log(n)) 中进行合并，并且符合您的 O(log(n)^2) 要求。

【参考方案2】：

大小为 n 和 k 的两个二进制堆可以在 O(log n * log k) 比较中合并。见

Jörg-R. Sack and Thomas Strothotte, An algorithm for merging heaps, Acta Informatica 22 (1985), 172-186.

【讨论】：

这需要像普通的基于指针的树一样用指针来实现堆，这与通常的做法不同。

我想说同样的话@phoeagon - 我开始阅读它，它说当它将一个数组复制到另一个数组时需要 O(k) 数据操作，但在论文的最后它指出，如果使用指针而不是基于数组的堆，则可以在恒定时间内完成数据操作，从而使您返回 O(log n * log k) 操作。

【参考方案3】：

我认为在这种情况下您正在寻找的是二项式堆。

二项式堆是二项式树的集合，是可合并堆家族的成员。在 2+ 个二项式堆上进行联合（合并）的最坏情况运行时间为 O(lg n)。

更多信息请参见http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_heap。

【讨论】：

二项式堆不存储为数组