如何比较贝塞尔曲线的形状

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何比较贝塞尔曲线的形状

【英文标题】：How to compare shape of Bezier curves

【发布时间】：2015-04-19 19:35:02

【问题描述】：

我想比较 2 条贝塞尔曲线。我知道端点和控制点的坐标，但是对于 2 条比较曲线，这个坐标可能不一样。我需要比较这条曲线的形状。要“真实”，形状必须大致相同。

我使用 javascript 和 paper.js。

请看图片：

https://habrastorage.org/files/825/6e5/36c/8256e536c9ce4f01bf12d792473038d5.png

出路在哪里？谢谢。

【参考方案1】：

首先通过计算 T（转换）矩阵 (-P0) 尝试 X 轴对齐三次曲线，P0 是曲线的第一个控制点。和一个 R(otation) 矩阵（旋转角度需要将最后一个控制点 P3 降落在轴上，你可以算出）。

一旦曲线与轴对齐，您只需要担心曲线的核心（P1 和 P2）。您可以将它们与另一条曲线的值进行比较，以获得自定义的预定义错误阈值，并查看两条曲线是否匹配。

【参考方案2】：

三次贝塞尔样条曲线由任意四个点定义：start、control-1、control-2 和 end，我将其编号为 0、1、2、3。现在我们假设这四个点是不同，而且没有三个在一条直线上。

曲线可以采取三种根本不同的形式，取决于线 0--1 和 1--2 之间、1--2 和 2--3 之间的转弯方向，以及 0--1 和2--3交叉。

在类型 1 中，两个转弯都在右侧，或者都在左侧，并且 0--1 不与 2--3 交叉。在提问者的例子中，这给出了一条曲线，如 a、b 或 c。在类型 2 中，第一个转向左侧，第二个转向右侧，或反之亦然，给出类似于提问者示例中的 d 的曲线，带有一个扭结。在类型 3 中，两个转弯的方向相同，但线 0--1 和 2--3 交叉，形成带环的曲线。

我们可以首先将单个三次样条分类为三种类型之一，给它们一个类型字符串：普通（'' - 空字符串），扭结（'K'）和循环（'L'）。

但是，示例 e 由两个平滑连接的三次样条组成。为了处理这样的序列，我们遍历它们并创建一个字符串，为每个扭结曲线附加一个 K，为每个循环曲线附加一个 L。我们还为两条样条线之间的每个连接添加一个 K，其中连接之前的转弯与之后的转弯相反：先左后右，或先右后左。

这为我们提供了类型字符串“K”，例如 e，根据需要将其与 d 匹配。

我们还允许一种类型字符串与另一种类型字符串相反的匹配：因此 'KL' 匹配 'LK'。

【参考方案3】：

根据您提供的示例，我假设

大小不相关 形状可以扭曲到一个点

如果旋转曲线不相同

N 个点采样曲线

只需逐步执行参数... 对于三次曲线，我将使用 16 到 32 个采样点 点越多，比较越精确 但是更大的运行时间...

计算每段的角度

使用 atan2 或 atanxy 将这些角度存储在数组中

比较这些数组

正确执行此操作的最佳和最简单的方法是correlation coefficient 如果相关系数接近+1，则形状相似或相同

如果旋转相似的曲线应该是相同的

轮换

然后执行上述操作几圈（例如 0,10,20,...,350 度） 如果有，如果它们是相同的，则停止并返回 true 如果没有则返回 false 曲线的旋转实际上只是为其所有角度添加一个常数...

旋转不变性

如果您偏移两个比较曲线角度以从角度 0 开始 所以只需从曲线的所有角度中减去第一个角度 然后将两条曲线相互对齐，因此只需要 2 个位置进行比较 所以你比较一下 如果不相同，则在一条曲线上添加 180 度并再次比较 够了

[备注]

您应该在相关之前对所有角度进行归一化（使其达到区间<0.0,2.0*PI>） 更多想法请看这里How to compare two shapes?