具有 2 种颜色的随机着色图的近似值 [关闭]

Posted 2023-02-19

【中文标题】具有 2 种颜色的随机着色图的近似值 [关闭]

【英文标题】：Approximation for random coloring graph with 2 colors [closed]

【发布时间】：2022-01-13 23:01:03

【问题描述】：

无法弄清楚如何显示此近似值，希望有人可以提供一些建议。我对近似（尤其是随机化）很陌生，并且无法弄清楚如何缩小范围。

问题：

假设我们有一个图G = (V,E)，每条边都有一个权重w。

我们想用red 和blue 两种颜色为图表着色。我们希望最大化从red 到blue 的每个顶点的边权重。

我们随机用red 或blue 标记每个顶点，每个顶点可能带有1/2。着色是独立于每个顶点完成的。

我需要证明这个颜色分配随机化算法是4-approximaton。但是，不完全确定从哪里开始。有人有什么想法吗？

【问题讨论】：

我认为很容易找到反驳你猜想的反例。所以也许我不明白你的猜想。示例图表将有助于澄清问题。

嗯，这应该是不可能的，因为我需要展示它的 4 近似值。基本上，我们希望将图形分成具有红色和蓝色着色的子集，然后最大化从红色到蓝色的边权重。这种随机着色是我需要显示的 4 个近似值。

边权重是否必须为非负数？这个问题在使用负权重时会变得更加复杂。

你为什么要为此烦恼？这显然是一个非常糟糕的近似值，可以通过在分配颜色时考虑边缘权重来大大改进。

@ravenspoint 这是一个很好的问题，我以后的任务涉及对此进行改进，但我认为主要动机实际上是说明为什么这种近似值如此糟糕:)

【参考方案1】：

即使是最简单的贪心算法也会产生比随机分配颜色更好的近似值。

像这样：

Mark all nodes uncolored
Mark all edges unprocessed
Sort edges into decreasing weight
LOOP until all edges processed
   Select heaviest unprocessed edge
   IF both nodes uncoloured
        color nodes on edge opposite colors
   IF one node uncolored
        color node opposite color to its partner
   mark edge processed
   ENDLOOP

【讨论】：

虽然这可能是真的，但我认为 OP 的目标是计算（并证明）给定算法的近似因子，而不是想象新算法。

但是为什么要花时间和精力来证明什么，或者花任何时间在这么差的算法上呢？这就是让我困惑的地方。

@ravenspoint 不幸的是，这不取决于我哈哈