图 - 具有顶点权重的最短路径

Posted 2023-02-19

【中文标题】图 - 具有顶点权重的最短路径

【英文标题】：graph - Shortest path with Vertex Weight

【发布时间】：2012-05-14 05:56:18

【问题描述】：

这是一个消费税：

在某些图问题中，顶点可以有权重而不是 或者除了边的权重。设 Cv 为顶点成本 v 和 C(x,y) 是边 (x, y) 的成本。这个问题很关心 在图 G 中找到顶点 a 和 b 之间最便宜的路径。 路径的成本是边和顶点的成本之和 路上遇到的。

(a) 假设图中每条边的权重为零（而 非边的成本为 ∞)。假设 Cv =1 对于所有顶点 1≤v≤n （即，所有顶点具有相同的成本）。给出一个有效的算法 找出从 a 到 b 的最便宜的路径及其时间复杂度。

(b) 现在假设顶点成本不是恒定的（但都是 正）并且边缘成本保持如上。给一个高效的 找到从 a 到 b 的最便宜路径及其时间的算法 复杂性。

(c) 现在假设边和顶点成本都不是常数 （但都是正面的）。给出一个有效的算法来找到 从 a 到 b 的最便宜路径及其时间复杂度。

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这是我的答案：

(a) 使用正常的 BFS；

(b) 使用dijkstra算法，但是用顶点权重代替权重；

(c)

同样使用dijkstra算法

如果只考虑边权重，那么对于dijkstra算法的关键部分，我们有：

if (distance[y] > distance[v]+weight) 
    distance[y] = distance[v]+weight; // weight is between v and y

现在，通过考虑顶点权重，我们有：

if (distance[y] > distance[v] + weight + vertexWeight[y]) 
   distance[y] = distance[v] + weight + vertexWeight[y]; // weight is between v and y

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我说的对吗？

我想我对 (c) 的回答太简单了，是吗？

【参考方案1】：

你在正确的轨道上，解决方案很简单。

在 B、C 中，将问题简化为正常的 dijkstra，它假定顶点没有权重。 为此，您需要定义w':E->R，这是一个新的边权重函数。

w'(u,v) = w(u,v) + vertex_weight(v)

在 (b) w(u,v) = 0（或 const）中，并且该解决方案也适合 (c)！

其背后的想法是使用边会消耗边的权重，以及到达目标顶点的成本。来源的费用已经支付，所以你无视它¹。

减少问题，而不是更改算法，通常更易于使用、证明和分析！

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(1) 在此解决方案中，您“错过”了源的权重，因此从 s 到 t 的最短路径将是：dijkstra(s,t,w') + vertex_weight(s)_ [其中 dijkstra(s,t,w') 是从 s 到t 用掉 w'

【讨论】：

我认为在（a）中，顶点具有相同的权重，而边没有权重。我们可以使用普通的 BFS 对吗？

@JacksonTale 如果我正确理解了这个问题 - 关于 (a) 你是绝对正确的，我没有在关于这部分的答案中提到任何内容，因为我没有什么可以补充你已经做过的事情!

还有Reducing a problem, instead of changing an algorithm is usually much simpler to use, prove and analyse!.这非常鼓舞人心！

@zengr：对于原始图中的每个无向边 (u,v)，在新图中添加两条边：(u,v) 使得 w'(u,v)=w(v) 和 (v,u) 使得 w'(v,u)=w(u)。给定这个新图 - 运行 dijkstra 算法并在原始图中获得最短路径。

@zengr 你会找到的最短路径是s->u1->u2->...->un，它会给你w'(s,u1) + ... + w'(un-1,un) = w(s,u1) + w(u1) + w(u1,u2) + w(u2) + ... + w(un-1,un) + w(un)的总权重它不计算路径中第一个节点的权重，所以只需在发布时添加处理，可以轻松完成。它不会违反正确性，因为 G' 中的所有路径都缺少完全相同的因子。

【参考方案2】：

可以通过对两个顶点a1和a2中的每个顶点a进行切片来去除顶点权重，边从a1到a2，权重为a。

我认为你适合dijkstra算法的改编。

【讨论】：

我认为这行不通。如果 a 与 b、c 和 d 相邻，那么 a1 和 a2 将与什么相邻？