到给定顶点的所有最短路径

Posted 2023-02-19

【中文标题】到给定顶点的所有最短路径

【英文标题】：All Shortest Paths To A Given Vertex

【发布时间】：2013-05-14 19:44:30

【问题描述】：

给定一个有向图 G=(V,E) 和一个权重函数 w : E - > R+（只有图中边的正权重），我需要找到从 V 中的每个顶点 v 到的所有最短路径给定的顶点 k。

我考虑过反转图中的边，然后从顶点 k 运行 Dijkstra's algorithm。我想知道从 k 到 v1 的最短路径 p 实际上是否是原始图中从 v1 到 k 的最短路径（在反转边之前）。

如果有人能解释它是否发生以及为什么发生/没有发生，我将不胜感激。

提前致谢。

【问题讨论】：

我目前没有任何正式的东西，但是是的，你的想法应该不错。考虑一下如果图是无向的会发生什么：两条路径显然是相同的。您的建议基本上会导致无向图，因此两者是相同的。

我也是这么想的，不知道有没有某种情况不会发生。

这个的有效性直接来自于你通过反转边缘产生的对称性。你很好。

对于每个关于有向图的陈述，都有一个关于所有边反转的图的双重陈述。你的就是一个例子。

有些事情因为太明显而难以证明。 （我记得 Knuth 曾对此大肆咆哮。）这就是其中之一。

【参考方案1】：

（这不会是世界上最正式的证明，但希望它足以说服自己）。

假设一个顶点v，在图G中，从v到k的最短路径是长度m。 您想知道的两件事是： 1. 在逆向图 G* 中，有一条长度为 m 的路径从 k 到 v。 2. 在反向图 G* 中，没有从 k 到 v 的路径短于 m。

在我开始之前，我们能否相信一件事：引理 1：如果你有一条从顶点 v 到顶点 w 的有向路径，然后你反转路径上的每条边，然后你有一条从顶点 w 到顶点 v 的路径。这是可以证明的，但我认为这是相当常识的。如果你要我证明，我会证明的。

对于第 1 点：考虑 G 中从 v 到由 m 条边组成的 k 的路径。如果你反转这些边中的每一个，你将有一条从 k 到 v 长度为 m 的路径（由 Lemma 1 em>)。

对于第 2 点：假设逆向图 G* 中存在一条路径，从 k 到 v，长度为 n m。如果你反转这条路径，那么从 v 到 k 的路径长度为 n (Lemma 1) .这意味着在原始图中有一条从 v 到 k 的路径比 m 短，这与长度的路径的说法相矛盾m 是最短的。

【讨论】：

或者，抽象：路径被反转后长度相同。因此，如果从 a 到 b 的一条路径比从 a 到 b 的另一条路径短，那么一旦它们被颠倒，它也是从 b 到 a 的更短路径。