是否可以使用 CRC 进行基本的纠错？

Posted 2023-02-19

【中文标题】是否可以使用 CRC 进行基本的纠错？

【英文标题】：Is it possible to do rudimentary error correction with CRC?

【发布时间】：2011-04-16 20:35:15

【问题描述】：

我知道使用 CRC 的全部目的是进行错误检测，但我听说有人说除了错误检测之外，它还可以用来进行基本的错误纠正。我很好奇是不是这样，如果是这样，它有多强大？我的意思是，我们通常将 CRC 称为能够执行 x 位检测，但我很好奇它是否能够执行 x 位校正。如果是这样，这是如何工作的？谢谢。

【参考方案1】：

迟到的答案，但 CRC32 多项式

0x1f1922815 (= 0x787 * 0x557 * 0x465 * 0x3 * 0x3)

对于 1024 位（992 位数据，32 位 CRC）消息，最多可以检测 7 位错误并纠正最多 3 位错误。有 comb(1024,1) + comb(1024,2) + comb(1024,3) = 178957824 个可纠正的误码模式。如果有足够的内存用于 1431662592 字节表 (178957824*8 = ~1.4 GB)，则可以生成所有可能的 1、2 和 3 位错误 CRC 并将其存储在该表中，其中每个条目将是：32 位 CRC 、一个 2 位错误计数和三个 10 位字段用于位错误位置。

然后将对该表进行排序，并且在检查 CRC 时，如果它是错误的，则对该表的二进制搜索（最多 28 个循环）可以确定它是 1、2 还是 3 位错误情况，并使用以下方法进行纠正存储在表中的索引。

但是，有 5 位或更多位错误的错误纠正的可能性。如果某些 5 位错误位模式产生与 3 位错误位模式相同的 CRC，则错误的 3 位将被更改，从而导致看似具有有效 CRC 的 8 位错误。

示例代码链接：

https://github.com/jeffareid/misc/blob/master/crccor3.c

【参考方案2】：

您可以使用 CRC 进行多位纠错。查看***，参考 koopmans 的工作，CRC 可以检测到其 hamming_distance-1 错误。汉明距离取决于有效载荷长度和使用的 CRC 多项式。因此，例如 0xBA0DC66B 的 Koopmans 多项式可以在长达 16360 位的消息中检测到多达 5 位的错误。前两条消息中描述的算法可以根据需要扩展到任意多的位，但时间随着要修复的位数呈指数增长。

计算错误 CRC = CRC_gotten ^ CRC_expected。 查看所有可能的 1 位消息（即全 0、1 和全 0）（需要评估 message_length 情况。注意这是 BITS 而不是 BYTES），错误位是生成错误 CRC 的消息。 反转检测到的位以纠正错误。

如果您找不到与错误 CRC 匹配的 1 位，请查看所有 2 位、3 位直到您的 hamming_distance-1。请注意，这会变慢变快，message_length 平方为 2 位，三次方为 3 位，最高为 5 位的五次方。

【讨论】：

所示算法的措辞似乎是单比特错误的 n 平方，两位错误的 n 立方等，因为它独立计算每个消息的 CRC 需要时间 N . 建议如何在没有 N 的额外因素的情况下完成它可能会有所帮助。

不，N 表示单个位。我可以在 logN 时间内计算 N 位中设置的单个位的 CRC。更好的是，给定 N 位消息中位置 X 的单个位的 CRC，我可以简单地告诉您位为 N+1 的消息的 CRC。这只是 CRC 内循环的一个步骤。

只是你的crc_forward函数循环：从1开始，crc_forward，是crc错误吗？不，crc_froward 并再次检查。

这有点误导……仅仅因为您可以检测 5 个单比特错误，并不意味着您也可以纠正它们。在实践中，对于您给定大小的消息，只能（通常）纠正 2 个单比特错误 - 这仅遵循鸽巢原理（长度为 16360 的消息中平均有 1000 多种可能出现 3 比特错误产生一个给定的CRC）。当然，单个突发错误是完全不同的情况 - 在这种情况下，除了生成多项式之外，所有 33位突发都可以被检测到，并且对于 10b。

@Arne，koopsmans 的工作包括一个表格，告诉您数据长度在哪里错误 CRC 停止对于给定位数的唯一性。只要您的消息比这短，错误代码将是唯一的。这当然取决于所使用的多项式。

【参考方案3】：

我最近从事 CRC16 错误检测和单位错误校正。

这是基本的想法：

假设您有一个位错误。 如果data+crc没有错误，则CRC为0，否则为0。 我们将发送的 CRC 定义为 CRC，将接收的 CRC 定义为 CRCr。 那么错误位由CRCox = CRCs ^ CRCr给出。 结果包含 CRC 错误和数据错误。 看看CRCox和误码是什么关系。

这清楚吗？我有一篇关于这个的论文。如果您想了解更多信息，请告诉我。

【讨论】：

我认为这可能是@Wandy所指的论文：espace.library.uq.edu.au/…

对于第 2 点，不是 CRC 为 0。而是接收到的 CRC 与根据接收到的数据计算的 CRC 进行异或运算！

@Étienne 当然他的意思是接收到的数据+crc 的 CRC 将为零

【参考方案4】：

可以使用 CRC 进行单比特纠错。假设有一个 CRC“寄存器”，并且具有一次向前和向后运行 CRC 算法的函数，忽略传入的数据

int crc_forward（int old_value，int data_bit） 如果（旧值和 0x8000） 返回 ((old_value ^ 0x8000) SHL 1) ^ 0x1021 ^ data_bit; 别的 返回（旧值 SHL 1）^ 数据位； int crc_reverse(int old_value) 如果（旧值和 1） 返回（旧值 SHR 1）^ 0x8810； 别的 返回旧值 SHR 1；

假设一个数据包经过计算，以便将 crc 初始化为某个值并为每个位（MSB 优先）运行 crc_forward 应该产生零。如果获得的 CRC 值不是零，则可以反向运行算法（忽略数据位），直到计算出的 CRC 值为 1。这就是错误位的位置。

请注意，这种方法可能适用于 NAND 闪存等软件纠错。为了有效地将其用于硬件纠错，必须能够延迟读取操作直到可以处理 ECC，或者需要一个“综合症”值和位位置表。

【讨论】：

也可以实现单突发校正。一些 16 位 CRC 多项式允许对最多 184 位的消息中的 7 位单次突发进行校正。