这段代码的时间和空间复杂度是多少？

Posted 2023-02-19

【中文标题】这段代码的时间和空间复杂度是多少？

【英文标题】：what is the time & space complexity in this code?

【发布时间】：2022-01-13 13:33:36

【问题描述】：

int special(const int* array, int p, int r) 
    if (p == r) 
        return 0;
    
    int sum = 0;
    for (int i = p; i < r; i += 1) 
        sum += array[i];
    
    int q = (p + r) / 2;
    return sum + special(array, p, q) + special(array, q + 1, r);

我想知道这段代码的时间和空间复杂度。

我认为时间复数是 Tn = 1 + Tn/2 + Tn/2，所以答案是 Tn = 2n -1 ，但答案是 O(nlogn)

谁知道解决方案？

【参考方案1】：

您的 Tn 复发率有点偏。

确实，您递归处理了两个大小子问题。但是，除了递归之外，您在每个函数调用中所做的工作不是 O(1)：您遍历从 p 到 r 的数组部分。因为每个函数调用只与 r-p 成比例地工作，我们应该取输入大小 n = r-p。或者等效地，我们可以将每个递归调用视为接收以索引 [p, r) 为界的大小为 n 的子数组。在任何一种情况下，每个函数调用中的工作，由从 p 到 r 的 for 循环表示，是 O(n)，而不是 O(1)。 所以递归是：

T(n) = 2T(n/2) + n

这与表示标准排序算法（如 mergeSort 或 quickSort）复杂性的重复出现相同，这可能已经提示您为什么总时间为 O(nlogn)。

了解这种递归如何导致 nlogn 复杂性的一种方法是考虑递归树。

在顶层，有 1 个函数调用完成 O(n) 的工作。

在第二级，有 2 个函数调用，每个都做 O(n/2) 的工作。总工作量 = 2*O(n/2) = O(n)

在第三层，有 4 个函数调用，每个函数都做 O(n/4) 的工作。总工作量 = 4 * O(n/4) = O(n) ... 等等

O(n) 工作在树的每一层完成，直到达到基本情况并且递归停止。因为子问题的大小在每次迭代中被一分为二，直到它达到 0 并停止递归，所以在递归停止之前大约有 log(n) 个级别，使整体复杂度为 O(n)*log(n) = O( nlogn)

然而，空间复杂度只有 log(n)，因为每个函数调用只使用 O(1) 空间（因为您传递一个指针和两个索引，而不是数组的副本）。由于调用堆栈可以获得 log(n) 深度递归调用，总空间 = O(1)*log(n) = O(logn)