在Graph中找到仅通过小于或等于一次的特定边的最短路径

Posted 2023-02-19

【中文标题】在Graph中找到仅通过小于或等于一次的特定边的最短路径

【英文标题】：Finding the shortest path with only passing specific edge less or equal to one time in Graph

【发布时间】：2022-01-11 10:26:27

【问题描述】：

给定一个具有普通边和特定边的无向图，我们的目标是找到最短的总和两个顶点（从开始顶点到结束顶点）之间的路径权重，只穿过等于或少于一次的特定边。换句话说，有多个特定的边，最多只能使用其中一个。

这是我在数据结构作业中遇到的一个问题，我坚持在 Graph 中存储边权重的第一步。因为Graph中有两种边，我不知道如何解决这个问题。

我知道使用Dijkstra算法可以得到最短路径，但是在这个过程中，如何修改算法以满足限制的要求？

非常感谢您回答我的问题！

【问题讨论】：

“仅通过等于或少于一次的特定边缘”：我不清楚。是指有多个特定边，最多只能使用其中一个，还是意味着所有特殊边都不能使用超过一次。我想这是第一个，但它的表述很糟糕。

@trincot 是你提到的第一个，我会修改我的问题，让它更清楚，非常感谢！

【参考方案1】：

解决办法是复制图如下：

复制顶点，这样对于每个原始顶点 A，您都有一个 A 和一个 A'。

如果在原始图中 A 和 B 之间有一条正常边，那么在新图中，在 A 和 B 之间以及 A' 和 B' 之间放置一条边

如果在原始图中 A 和 B 之间有一条特定的边，那么在新图中放置一条从 A 到 B' （不是相反的！）和从 B 到 A' 的（有向的）边（同样：不是倒数！）。这些边缘应该有方向。

如果现在的任务是找到 S 和 D 之间的最短路径，那么在新图中解决找到 S 和 D 或 S 和 D' 之间的最短路径的问题，哪个曾经最短。为此，您可以使用 Dijkstra 算法的标准实现，从 S 开始，当您找到 D 或 D' 时结束。

【讨论】：

哦，我想我明白意思了，但是如果图形是无向的，我应该在 A&B' 和 A'&B 之间添加新边吗？

我已经更新了我的答案，使某些方面更加清晰。

我想我大概明白意思了。但是为什么上面的过程可以保证最多只使用一个特定的边缘呢？

是的，因为一旦访问了“重音”节点，就无法返回到非重音节点。

感谢您的帮助！我想我已经完全意识到了！

【参考方案2】：

给定 n 特定边运行 Dijkstra 的搜索 n 次。 在每次运行时，n 节点之一（我们称之为节点 i）应该设置为其实际权重，而所有其他 n-1 节点应设置为无限值。 在每次运行结束时存储最短路径和步骤i 在所有运行结束时，从存储的路径中选择最短的。

set all n edges weight to infinity 
for i=0;  i < n  ; i++ 
   set edge i to it real weight 
   run run  Dijkstra's search 
   store path 
   set all n edges weight to infinity 


select the shortest path from the stored paths.