如何选择最小化到图中其他节点的最大最短距离的节点？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何选择最小化到图中其他节点的最大最短距离的节点？

【英文标题】：How do I select the node that minimizes the maximum shortest distance to the other nodes in a graph?

【发布时间】：2021-10-19 00:22:51

【问题描述】：

我有一个无向、连通、正加权图G = <V,E>。我需要在V 中找到一个节点 v_min，以使v_min 和其他节点之间的最大距离最小化。我了解到这是k-center 问题（即k=1）的一个特殊问题，已知它是NP-Hard。但是，由于我们将k 限制为等于1，因此我认为问题仍然可以有效地解决。

我现在的方法是：计算V 中节点之间的所有对距离，例如，使用 Floyd-Warshall，或重复调用 Dijkstra。然后，我们沿着节点列表查找节点与其他节点之间的最大距离最小的节点。如果满足此条件的节点不止一个，则选择其中任意一个。

这种方法正确吗？ 有没有更好的方法（即更有效）？ 请注意，我对近似算法不感兴趣，只对精确算法感兴趣。

【参考方案1】：

加速重复 Dijkstra

如果您使用重复的 Dijkstra 来计算所有成对距离（这是稀疏图的更有效选择），有一个简单的观察可以让您不必执行许多迭代 - 我预计大约一半平均而言。

因为图是无向的，一旦我们计算了到某个根顶点 v 的所有距离，我们也知道 from 每隔一个顶点 到 v 的距离。让 u 成为距 v 最大距离处的顶点；将此距离称为 d。那么 u 不可能是比 v 更好的选择，因为我们只关心它到任何其他顶点的最大距离，而且我们已经知道它与某个顶点（即 v）的距离为 d，所以它的最大值距离不能小于这个。因此，运行从 u 开始的 Dijkstra 搜索毫无意义。

IOW，在从某个特定的起始顶点运行 Dijkstra 之后，我们可以从需要从其运行 Dijkstra 最短路径搜索的顶点列表中跨越距离它最大距离的所有顶点。可能有多个这样的顶点。

请注意，此优化不会改变渐近时间复杂度，并且在最坏的情况下，它仅节省 1 次迭代（可能是在除第一次之外的每次迭代中，所有最大距离顶点都已处理完毕）。但在最好的情况下——当所有顶点与最初选择的顶点距离相等时——我们可以在运行初始 Dijkstra 搜索后完成。

【参考方案2】：

您要查找的节点称为图形中心或约旦中心，您查找它们的方法是常用方法。 Floyd-Warshall 是一种快速查找节点之间所有距离的方法，并且迭代结果以找到最小最大值将花费更少的时间。

对于大多数用途来说，这应该足够快，而且不可能做得更好。如果性能是最重要的，您可以查看this 2019 paper，它引入了一种新算法，他们声称该算法具有更好的可并行性，并且通常比 Floyd-Warshall 略快。

【讨论】：

谢谢！您的解释和确认正是我所需要的。