递归关系：T(n) = T(n/2) + n

Posted 2023-02-19

【中文标题】递归关系：T(n) = T(n/2) + n

【英文标题】：Recurrence relation: T(n) = T(n/2) + n

【发布时间】：2012-06-08 16:52:33

【问题描述】：

您好，我正在尝试通过伸缩来解决以下递归关系，但我被困在最后一步。

T(N) = T(N/2) + N              T(1)=0
T(N/2) = T(N/4) + N/2
T(N/4) = T(N/8) + N/4
...
T(2) = T(1) + 2

T(N)= T(1) + N + N/2 + N/4

我认为答案是 nlogn，但我不知道如何将上述解释为 nlogn。我可以看到我正在执行登录步骤，但是 n 来自哪里？

【参考方案1】：

您已经完全正确地完成了所有操作，但无法找到总和。你得到：n + n/2 + n/4 + ...，等于n * (1 + 1/2 + 1/4 + ...)。

您得到了 geometric series 的总和，等于 2。因此，您的总和是2n。所以复杂度是O(n)。

P.S.这不叫伸缩。数学中的伸缩是后续项相互抵消的时候。

【参考方案2】：

答案不是 nlogn 而是简单的 n

T(1)=0

T(N) = T(N/2) + N

T(N/2) = T(N/4) + N/2

T(N/4) = T(N/8) + N/4 ... T(2) = T(1) + 2

伸缩式展开共有log(N)个语句

现在通过伸缩取消，

我们有 T(N) = T(1) + N + N/2 + N/4 + N/8 +.....+ 2

T(1) = 0

T(N) = N + N/2 + ..... + 2

这是一个包含 log(n) 项的几何级数，每个项减半。

T(N) = N [ 1 - (1/2)^log(N)] / (1/2)

T(N) = 2N[1 - 1/N]

T(N) = 2N - 2

因此答案是 O(N)。

【讨论】：

T(1) 不应该是 1 吗？