使用图遍历来测试图是不是是完美二叉树

Posted 2023-02-19

【中文标题】使用图遍历来测试图是不是是完美二叉树

【英文标题】：Using graph traversal to test is a graph is a perfect binary tree使用图遍历来测试图是否是完美二叉树

【发布时间】：2021-12-30 08:07:04

【问题描述】：

当给定一个由邻接表表示的无向图 G 时，如何使用 DFS 来查看该图是否是完美二叉树？

我已经能够识别边缘情况：例如，对于深度 D，您需要 2^n-1 个节点，您可以使用对数计算出最大深度，如果不完整，您知道您没有完美的树，但我想不出使用邻接表和 DFS 进行测试的有效方法。

【问题讨论】：

您可以有一个计数器字典，您可以在其中跟踪每个级别中的节点数。还有一组跟踪访问过的节点。当您这样做时，您的 dfs 会跟踪深度并将新节点添加到它们各自的级别。最后，检查每个级别是否有适当数量的节点。

最难的部分是找出哪个节点是这棵完美二叉树的根。如果你有一个图，它是图意义上的树，那么你可以选择任何节点作为根，你会得到一个父子意义上的树。但在你的情况下，只有一个可能的根会产生一棵完美的二叉树。

我建议一个算法分为两部分：首先，识别一个候选根；然后，检查这个根，你有一个完美的二叉树。

PS：对于以后的问题，请考虑在the computer science stackexchange 上提问，而不是在 *** 上提问。对于更多的理论问题，您可能会在此处获得更好的答案，而对于更多面向编程的问题，您可能会在此处获得更好的答案。

@Stef 根是唯一度数为 2 的顶点

【参考方案1】：

在一棵不为空的完美二叉树中，有?个节点，我们有以下属性：

节点数 ? 小于 2 的幂，即 ℎ=log₂(?+1) 是整数。 ?=2^ℎ−1 边数为?−1 没有超过 3 个邻居的节点。 当 ? > 1 时，（只有）一个节点正好有 2 个邻居：它是根。 当 ? > 1 时，树的叶子只有一个邻居：有 2^ℎ-1。 根与叶之间的距离为ℎ−1。

这些属性可以一个接一个地检查。一旦确定了根，就可以执行遍历来检查距离属性。使用 DFS 或 BFS。

【讨论】：

如果你已经确定了根并且要进行遍历，那么只有属性“深度

是的，但是像边数这样的检查是值得的，因为它非常便宜，并且可以在不进行遍历甚至构建邻接列表的情况下快速退出。此外，在构建邻接列表时可以检查超过 3 个邻居，从而更快地退出。

【参考方案2】：

如果图是空的，或者只有一个顶点，则返回true。

否则，请检查以确保图形是连通的且非循环的。

那么，如果它是一棵完美的二叉树，那么它必须只有一个度数为 2 的顶点。这就是根。让a 和b 成为它的两个孩子。那么：

let depthA = depthIfPerfect(a, root);
let depthB = depthIfPerfect(b, root);
return depthA == depthB && depthA >=0

地点：

depthIfPerfect(node, parent):

    if degree(node) == 1:
        return 1;
    if degree(node) != 3:
        return -1; //not perfect

    let a and b be the neighbors that aren't parent

    let depthA = depthIfPerfect(a, node);
    let depthB = depthIfPerfect(b, node);
    
    if (depthA != depthB || depthA < 0):
        return -1: //not perfect
    return depthA+1;

如果你愿意，你可以在这个遍历中混合检查连通性和非循环性。