不同步长的欧拉方法。如何更改算法的代码以考虑不同的步长值？

Posted 2023-02-18

【中文标题】不同步长的欧拉方法。如何更改算法的代码以考虑不同的步长值？

【英文标题】：Euler's method for different step sizes . How does one change the code of the algorithm to account for different values of the step size?

【发布时间】：2020-08-08 19:01:38

【问题描述】：

我有一个用于数值微分方程问题的算法，称为欧拉法。本质上，欧拉方法近似于微分方程的解。我的函数适用于单步长（值h），但我正在尝试更改代码以允许我循环3个不同的值h（通过将h从单个值更改为可能值的列表） .但是，我编写的函数没有充分循环我的值。我是 python 新手，以前使用过 R。有人可以告诉我如何正确地做到这一点。

我的代码适用于步长 h 的单个值是：

from math import exp # exponential function

dy = lambda x,y: x*y
f = lambda x: exp(x**2/2) # analytical solution function

x = 0 # Intial value X_0
xn = 2 # Final Value
y = 1 # value of y(x0)
h = 0.2 # stepsize
n = int((xn-x)/h)

print ('x \t\t y (Euler h=) \t y (analytical)'.format(h))
print ('%f \t %f \t %f'% (x,y,f(x)))
for i in range(n):
    y += dy(x, y)*h
    x += h
    print ('%f \t %f \t %f'% (x,y,f(x)))


x        y (Euler h=0.5) y (analytical)
0.000000     1.000000    1.000000
0.500000     1.000000    1.133148
1.000000     1.250000    1.648721
1.500000     1.875000    3.080217
2.000000     3.281250    7.389056

我想将 h 更改为 h=[0.01,0.2,0.5] 并获得值，然后创建显示解析解和欧拉方法解在不同步长值下的图。

如果这是一个简单的问题，我再次道歉。我是 python 编程的新手，经常犯一些错误，下面是我迄今为止最好的尝试。我还没有将我的 x 值存储到容器中，因为我的函数没有循环遍历 h 值。我正在尝试编写一个嵌套的 for 循环，其中外部循环遍历 h 值并存储这些值并将它们绘制为一条线，然后迭代到 h 的第二个值并执行相同的操作，最后这些值可以是放在一个地块上。

# Improved to allow plotting different values
import matplotlib.pyplot as plt 
import numpy as np
from math import exp # exponential function

dy = lambda x,y: x*y
f = lambda x: exp(x**2/2) # analytical solution function
x = 0
xn = 2
y = 1
# Container for step sizes
h = [0.5,0.2,0.1]

# Container to store the x values at each stepsize
# X =np.zeros((3,))

print ('x \t\t y (Euler) \t y (analytical)')
print ('%f \t %f \t %f'% (x,y,f(x)))
for j in range(0,len(h),1):
    n = int((xn-x)/h[j])
    for i in range(n):
        y += dy(x, y)*h[j]
        x += h[j]
        print ('%f \t %f \t %f'% (x,y,f(x)))
    plt.plot(x,y)

plt.show()


x        y (Euler)   y (analytical)
0.000000     1.000000    1.000000
0.500000     1.000000    1.133148
1.000000     1.250000    1.648721
1.500000     1.875000    3.080217
2.000000     3.281250    7.389056

所以问题实际上是尝试为不同的步长创建欧拉方法，即“如何更改我们的函数以循环遍历列表并使用 matplotlib 绘制结果”？

【问题讨论】：

您需要为 x 和 y 值创建一个列表，并在每一步附加当前值。当您为不同的 h 开始新的迭代时，不要忘记重置列表。

【参考方案1】：

你犯了一个小错误，如果你想绘制结果，你需要将结果存储在一个容器中。我稍微重写了你的代码。在讨论您的代码有什么问题之前，我首先给您完整的代码。也许你自己发现了错误。我还添加了解析解的计算和其他一些你喜欢的小改进。所以这里是代码：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from math import exp  # exponential function

dy = lambda x, y: x * y
f = lambda x: exp(x ** 2 / 2)  # analytical solution function
x_final = 2

# analytical solution
x_a = np.arange(0, x_final, 0.01)
y_a = np.zeros(len(x_a))
for i in range(len(x_a)):
    y_a[i] = f(x_a[i])
plt.plot(x_a, y_a, label="analytical")

# Container for step sizes
h = [0.5, 0.2, 0.1]


for j in range(len(h)):
    x = 0
    y = 1
    print("h = " + str(h[j]))
    print("x \t\t y (Euler) \t y (analytical)")
    print("%f \t %f \t %f" % (x, y, f(x)))

    n = int((x_final - x) / h[j])

    x_n = np.zeros(n + 1)
    y_n = np.zeros(n + 1)
    x_n[0] = x
    y_n[0] = y

    for i in range(n):
        y += dy(x, y) * h[j]
        x += h[j]
        print("%f \t %f \t %f" % (x, y, f(x)))
        x_n[i + 1] = x
        y_n[i + 1] = y

    plt.plot(x_n, y_n, "x-", label="h=" + str(h[j]))


plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.legend()
plt.show()

这会在我的计算机上绘制以下内容：

请注意，我将您的变量 xn 重命名为 x_final 以避免名称与我介绍的变量混淆。如前所述，您需要将每个 x 和 y 值存储在容器中。我为此使用了 NumPy 数组，但您也可以使用列表。这个

n = int((x_final - x) / h[j])

x_n = np.zeros(n + 1)
y_n = np.zeros(n + 1)
x_n[0] = x
y_n[0] = y

只创建 2 个零数组，它们的大小等于子步数 +1。然后我将第一个值设置为等于初始值。这必须在 h 的循环内，因为每个 h 的子步数 n 是不同的。

在您的i-loop 结束时，我只是将当前的x 和y 值写入数组中的正确位置。

for i in range(n):
    y += dy(x, y) * h[j]
    x += h[j]
    print("%f \t %f \t %f" % (x, y, f(x)))
    x_n[i + 1] = x
    y_n[i + 1] = y

您需要将数组传递给函数：

plt.plot(x_n, y_n, "x-", label="h=" + str(h[j]))

我还添加了一个将显示在图例中的标签并将线型更改为"x-"。

您犯的一个错误导致您的 i 循环仅针对第一个 h 执行是您没有将 x 和 y 重置为其初始值。所以你的n 在第一次运行外循环之后总是0。

您当然可以优化一些东西，比如使用类似

的东西

for h in h_list:
   ...

这将比总是使用h[j] 而不仅仅是h 更具可读性，但我认为现在这已经足够了。 ;)

【参考方案2】：

是的，你做对了，但它们是错误的。而不是 yn+1 y Euler 你已经为不同的 n 值打印了 yn。根据你的代码正在编写实际上是 yn 的 y 欧拉。 所以我这边的一个建议是你可以把这个表做成这样的 xn ， yn ，slope ， yn+1 然后是分析表。 让你的代码完美无缺

【讨论】：

感谢@RavneetKaur，继续努力:)