使用 Hare and Tortoise 方法在链表中检测循环

Posted 2023-02-18

【中文标题】使用 Hare and Tortoise 方法在链表中检测循环

【英文标题】：Cycle detection in linked list with the Hare and Tortoise approach

【发布时间】：2011-09-22 21:32:06

【问题描述】：

我知道，为了检测链表中的循环，我可以使用 Hare and Tortoise 方法，该方法包含 2 个指针（慢指针和快指针）。但是，在阅读wiki和其他资源后，我不明白为什么保证两个指针会在O(n)时间复杂度内相遇。

【问题讨论】：

您是在寻找正式的数学证明，还是只是非正式的解释？

正式（但易于理解）证明。检查顶部的第二个答案。 ***.com/questions/2936213/…

【参考方案1】：

这是一个非正式证明的尝试。

循环的形状无关紧要。它可以有一个长尾巴，和一个朝向末端的循环，或者只是一个从头到尾没有尾巴的循环。不管周期的形状如何，有一点很清楚 - 乌龟指针无法赶上兔子指针。如果两者要相遇，兔子指针必须从后面追上龟指针。

确定后，考虑两种可能性：

野兔指针比乌龟指针落后一步。 野兔指针比乌龟指针落后两步。

所有更大的距离最终都会减少到一两个。

假设乌龟指针总是先移动（也可以反过来），那么在第一种情况下，乌龟指针向前移动一步。现在它们之间的距离为 2。当野兔指针现在走 2 步时，它们将落在同一个节点上。为了更容易理解，这里说明了相同的内容。过多的文字可能会妨碍您。

♛ = 野兔 ♙ = 乌龟 X = 两者相遇 ..♛♙... #1 - 最初，兔子比乌龟落后一步。 ..♛.♙.. #2 - 现在乌龟迈出了一步。现在野兔落后了两步。 ....X.. #3 - 接下来，兔子走了两步，它们相遇了！

现在让我们考虑第二种情况，它们之间的距离为 2。慢速指针向前移动一步，它们之间的距离变为 3。接下来，快速指针向前移动两步，它们之间的距离减小到 1，即与第一种情况相同，在第一种情况下，我们已经证明它们将再一步相遇。同样，为了便于理解，还进行了图示。

.♛.♙... #1 - 最初，兔子比乌龟落后两步。 .♛..♙.. #2 - 现在乌龟迈了一步，它们之间的距离变成了三步。 ...♛♙.. #3 - 接下来，兔子采取两个步骤，这与之前的情况相同。

现在，至于为什么这个算法保证在 O(n) 内，使用我们已经确定的兔子将在乌龟前进之前遇到乌龟。这意味着一旦两者都在循环内，在乌龟完成另一轮之前，它将遇到兔子，因为兔子的移动速度是兔子的两倍。在最坏的情况下，循环将是一个有 n 个节点的圆。乌龟只能在 n 步内完成一轮，而兔子可以在这段时间内完成两轮。即使兔子在第一轮错过了乌龟（它会），它肯定会在第二轮赶上乌龟。

【讨论】：

知道了，谢谢！所以只是想确保我完全理解它 - 一旦慢速指针进入循环（快速指针显然已经在其中），保证快速指针第一次尝试绕过慢速指针时，它们实际上会见面。

是的，绝对的，而且由于快速指针在n 移动中遍历循环两次（考虑到循环的长度为n），它们保证在O(n) 中相遇。还要证明为什么我们不能有比O(n) 的下限，考虑整个列表循环并看起来像一个圆圈的最坏情况。两者都从节点 0 开始。当快指针完成一个循环时，慢指针已经在列表(n/2) 步骤的一半处。在另一个(n/2) 步骤中，快的将完成另一次迭代，而慢的将完成第一次迭代。

【参考方案2】：

让迭代器A 和B 分别一个接一个地遍历列表。康迪尔存在一个循环。然后在A 进入循环的那一刻，B 已经在其中的某个地方。如果循环的长度是K，那么B 将在]K/2[ 移动中围绕它运行，所以最多在2*]K/2[ 迭代中我们会遇到B 出现在远处A 后面的情况1: B->A 或 2: B->.->A，这是 B'th 回合。在此之后，显然，他们将在1 或2 移动中相遇。因此，如果循环存在并从某个位置 P 开始，那么我们最多会进行 2*P + 2*]K/2[ + 2 = O(N) 迭代。

【参考方案3】：

//if you just want to check if there is a loop

loop = false;
item = head-of-list; 
while (item != nil)

   if (item.next < 0) 
   
      loop = true; 
      break; 
   
   else
   
      actual = item;
      item = item.next; 
      actual.next = actual.next * -1; 
   
 

return loop; 

【参考方案4】：

这是龟兔算法的while循环：

    while tortoise:
        hare = hare.next
        tortoise = tortoise.next
        # if not hare, states that i have a single node.
        # hare.next means that we have a tail value. So we do not have a cycle
        if (not hare) or (not hare.next):
            return False
        else:
            hare = hare.next
        if tortoise == hare:
            return True

虽然兔子向前移动了2步，这意味着它有可能在循环中一遍又一遍地循环，一遍又一遍地接触多个节点，从技术上讲，这一切都发生在一个while循环中.