C++ sqrt 函数的全平方精度

Posted 2023-02-17

【中文标题】C++ sqrt 函数的全平方精度

【英文标题】：C++ sqrt function precision for full squares

【发布时间】：2013-11-22 04:37:16

【问题描述】：

设，x 是一个整数，y = x * x。

那么保证sqrt(y) == x？

例如，我能否确定sqrt(25) 或sqrt(25.0) 将返回5.0，而不是5.0000000003 或4.999999998？

【问题讨论】：

如果5不能准确表示，怎么可能呢？您可以期望的最好结果是它会截断为 5。

既然5是整数，不应该精确表示吗？我在某处读到 double 可以准确地将值存储在整数范围内。

@RafiKamal：一个 IEEE-754 64 位双精度浮点数可以准确地表示整个 32 位有符号和无符号整数范围而不会丢失。在那种情况下，这只控制类型转换。它不控制计算 sqrt(x) 的浮点库的精度。

相关问题：Floating point inaccuracy examples

@JoeZ 谢谢，我明白了

【参考方案1】：

符合 IEEE-754 标准的关于基本操作允许错误的实现（sqrt 是一个示例）要求对值进行正确舍入。 这意味着误差将小于 1/2 ULP（最后一个单位）或基本上尽可能接近实际答案。

要回答您的问题，如果实际答案完全可以用 double 表示，那么您将得到准确的答案。

注意：C++ 标准并不能保证这一点，而是 IEEE-754 标准，这对大多数人来说可能不是问题。

最终，一个简单的测试应该足以满足您的目的：

    for(int i = 0; i < (int)std::sqrt(std::numeric_limits<int>::max()); i++)
    
        assert((int)(double)i == i);//Ensure exactly representable, because why not
        assert(std::sqrt((double)i*i) == i);
    

如果这一切都过去了，我认为没有任何理由担心。

【参考方案2】：

不，您不能得到保证。对于适合浮点类型尾数动态范围的整数及其平方（对于典型的 C/C++ double，为 2^53），您可能没问题，但不一定能保证。

您应该避免在浮点值和精确值之间进行相等比较，尤其是精确整数值。浮点舍入模式和其他类似的东西真的会妨碍你。

您要么想使用“比较范围”来接受“近似相等”的结果，要么根据整数重新调整算法。有多个 *** 问题涉及浮点相等比较。我建议你搜索它们并阅读。

对于某一类问题，我在这里写了一个替代解决方案： Find n-th root of all numbers within an interval

该解决方案采用了不同于依赖复杂浮点运算的方法。

【参考方案3】：

您应该能够很容易地暴力搜索高达 2^26 的所有值，但我相信答案是肯定的。在那个数字之后，没有。

平方根的逐位数教科书算法以余数 == 0 结束，给出了准确的结果。再说一次，如果浮点库声称符合 ieee-754，它也会通过任何其他方式给出这个值。