仅使用增量、循环、赋值、零的关系运算

Posted 2023-05-08

【中文标题】仅使用增量、循环、赋值、零的关系运算

【英文标题】：Relational operations using only increment, loop, assign, zero

【发布时间】：2016-04-22 03:28:45

【问题描述】：

这是针对Subtraction operation using only increment, loop, assign, zero的后续问题

我们只能使用以下操作：

incr(x) - 一旦这个函数被调用，它会将 x + 1 分配给 x assign(x, y) - 这个函数会将 y 的值赋给 x (x = y) zero(x) - 此函数会将 0 分配给 x (x = 0) 循环 X - 括号内的操作将被执行 X 次

例如加法可以这样实现：

add(x, y) 
    loop x
         y = incr(y) 
    return y

如何使用这四个操作实现relational operators？关系操作是：

eq(x, y) - x 是否等于 y？ lt(x, y) - x 是否小于 y？ gt(x, y) - x 是否大于 y？

我们也有他们的对立面：

ne(x, y) - x 不等于 y 吗？ gte(x, y) - x 是否大于或等于 y？ lte(x, y) - x 是否小于或等于 y？

任何帮助将不胜感激。

【问题讨论】：

也许您有兴趣了解Lambda calculus 和Church encoding。这两篇文章直接回答了您的问题。

如果它解决了您的问题，您应该接受我的回答。点击我的答案旁边的勾号。

【参考方案1】：

自然数集N在加减法下闭合：

N + N = N
N - N = N

这意味着两个自然数相加或相减也是一个自然数（考虑到0 - 1 是0 而不是-1，我们不能有负自然数）。

但是，自然数集合N在关系运算下不是闭合的：

N < N = 0, 1
N > N = 0, 1

这意味着比较两个自然数的结果要么是真实的（即1），要么是虚假的（即0）。

因此，我们将布尔值集（即0, 1）视为自然数的受限集（即N）。

false = 0
true  = incr(false)

我们必须回答的第一个问题是“我们如何编码if 语句，以便我们可以根据真实或虚假进行分支？”答案很简单，我们使用loop操作：

isZero(x) 
    y = true
    loop x  y = false 
    return y

如果循环条件是true（即1），则循环只执行一次。如果循环条件为false（即0），则循环不会执行。我们可以用它来编写分支代码。

那么，我们如何定义关系操作呢？原来，一切都可以用lte来定义：

lte(x, y) 
    z = sub(x, y)
    z = isZero(z)
    return z

我们知道x ≥ y 与y ≤ x 相同。因此：

gte(x, y) 
    z = lte(y, x)
    return z

我们知道如果x > y 为真，那么x ≤ y 为假。因此：

gt(x, y) 
    z = lte(x, y)
    z = not(z)
    return z

我们知道x < y 与y > x 相同。因此：

lt(x, y) 
    z = gt(y, x)
    return z

我们知道如果x ≤ y 和y ≤ x 然后x = y。因此：

eq(x, y) 
    l = lte(x, y)
    r = lte(y, x)
    z = and(l, r)
    return z

最后，我们知道如果x = y 为真，那么x ≠ y 为假。因此：

ne(x, y) 
    z = eq(x, y)
    z = not(z)
    return z

现在，我们需要做的就是定义以下函数：

sub函数定义如下：

sub(x, y) 
    loop y
         x = decr(x) 
    return x


decr(x) 
    y = 0
    z = 0

    loop x 
        y = z
        z = incr(z)
    

    return y

not 函数与isZero 函数相同：

not(x) 
    y = isZero(x)
    return y

and 函数与mul 函数相同：

and(x, y) 
    z = mul(x, y)
    return z


mul(x, y) 
    z = 0
    loop x  z = add(y, z) 
    return z


add(x, y) 
    loop x
         y = incr(y) 
    return y

这就是你所需要的。希望对您有所帮助。

【讨论】：

非常感谢 Aadit.Interesting

解释得很好。

谢谢@LeandroCaniglia。