在 Perl 中近似 pi - 我做错了啥？

Posted 2023-05-08

【中文标题】在 Perl 中近似 pi - 我做错了啥？

【英文标题】：Approximating pi in Perl - what am I doing wrong?在 Perl 中近似 pi - 我做错了什么？

【发布时间】：2013-05-11 04:20:46

【问题描述】：

我正在尝试使用Ramanujan algorithm 近似 pi：

它应该计算总和，直到最后一个总和小于1e-15。

这只是为了好玩，最多占用我半个小时的时间......但我的代码没有产生任何接近 pi 的东西，我不知道为什么。很可能我忽略了一些愚蠢的事情，但不确定！

请注意：我从 1 开始 $k，因为 0 打破了我的 factorialsub 并且根据我的计算，k=0 无论如何都会返回 0。

我意识到可以更有效地编写代码；我尽可能简单地写出来，看看我是否能理解我哪里出错了。任何帮助表示赞赏！

#!/usr/bin/perl
use warnings;
use strict;

sub approx_pi 
    my $const = (2 * sqrt(2)) / 9801;

    my $k = 1;
    my $sum = 0;
    while ($sum < 1e-15) 
        my $p1 = factorial((4 * $k), 1);
        my $p2 = 1103 + (26390 * $k);
        my $p3 = (factorial($k, 1))**4;
        my $p4 = 396**(4 * $k);

        $sum = $sum + ( ($p1 * $p2) / ($p3 * $p4) );

        $k++;
    

    #print "Const: $const\nSum: $sum\n";
    return (1 / ($const * $sum));


sub factorial 
    my ($i, $total) = @_;
    return $total if $i == 1;

    $total = $total * $i;
    #print "i: $i total: $total\n";

    factorial($i-1, $total);


my $pi = approx_pi();
print "my pi is: $pi\n";

【问题讨论】：

“根据我的计算，k=0 无论如何都会返回 0。” - 跟我们讨论一下？

将 k = 0 放入等式中，您至少会得到一个分子零。我不确定k！，我读到如果k = 0，那么k！= 1（不知何故）但如果分子为0，则结果为零。除非我的基础数学不正确......

哎呀，什么是k！如果 k = 0 ??

....报废那个，这就是问题....谢谢@AakashM。一个糟糕的假设

没问题。请记住，数学家非常简洁，如果不需要 k = 0 术语，那么公式肯定是“从 k = 1 到 infinity 的总和”

【参考方案1】：

更新

脚本有几个问题。

如果k==0，则项目为1103。所以从0开始$k，而不是1。为此你应该修改factorial：

sub factorial 
    my ($i, $total) = @_;
    return $total if $i <= 1;

不需要在阶乘中传递产品。它可能是这样的：

sub fact 
  my $n = shift;
  return 1 if $n == 0 || $n ==1;
  return $n * fact($n -1);

（请参阅 Mark Reed 关于原始脚本中可能存在的 tail-call optimization 问题的有趣评论。有关此问题的更多信息，请参见此答案的末尾。）

不是$sum 值应该小于阈值，而是第k 个差异项。 所以在approx_pi 你应该使用这样的东西：

my $Diff = 1;
while ($Diff > 1e-15) 
    my $p1 = factorial((4 * $k), 1);
    my $p2 = 1103 + (26390 * $k);
    my $p3 = (factorial($k, 1))**4;
    my $p4 = 396**(4 * $k);

    $Diff = ($p1 * $p2) / ($p3 * $p4);
    $sum += $Diff;

    $k++;

但是无论如何总是递归调用factorial 并计算396 power of 4k 是无效的，所以它们可以被忽略。

sub approx_pi 
    my $const = 4900.5 / sqrt(2);

    my $k = 0;
    my $k4 = 0;
    my $F1 = 1;
    my $F4 = 1;
    my $Pd = 396**4;
    my $P2 = 1103;
    my $P4 = 1;
    my $sum = 0;

    while (1) 
        my $Diff = ($F4 * $P2) / ($F1**4 * $P4);
        $sum += $Diff;
        last if $Diff < 1e-15;

        ++$k;
        $k4 += 4;
        $F1 *= $k;
        $F4 *= ($k4 - 3)*($k4 - 2)*($k4 - 1)*$k4;
        $P2 += 26390;
        $P4 *= $Pd;
    

    return $const / $sum;

结果是：

my pi is: 3.14159265358979

我做了一些措施。 Approx_pi 函数运行了 1 000 000 次。固定的原始版本需要 24 秒，另一个需要 5 秒。对我来说，有点有趣的是，$F1**4 比 $F1*$F1*$F1*$F1 快。

---

关于阶乘的一些话。由于 Mark 的评论，我尝试了不同的实现，以找到最快的解决方案。针对不同的实现运行了 5 000 000 个循环来计算 15!：

递归版本

sub rfact;
sub rfact($) 
    return 1 if $_[0] < 2;
    return $_[0] * rfact $_[0] - 1 ;

46.39 秒

简单循环版本

sub lfact($) 
     my $f = 1;
     for(my $i = 2; $i <= $_[0]; ++$i)  $f *= $i 
     return $f;

16.29 秒

带有调用尾优化的递归（调用_fact 15,1）：

sub _fact($$) 
    return $_[1] if $_[0] < 2;
    @_ = ($_[0] - 1, $_[0] * $_[1]);
    goto &_fact;

108.15 秒

递归存储中间值

my @h = (1, 1);
sub hfact;
sub hfact($) 
    return $h[$_[0]] if $_[0] <= $#h;
    return $h[$_[0]] = $_[0] * hfact $_[0] - 1;

3.87 秒

循环存储中间值。速度和以前一样，只需要运行第一次。

my @h = (1, 1);
sub hlfact($) 
    if ($_[0] > $#h) 
      my $f = $h[-1];
      for (my $i = $#h + 1; $i <= $_[0]; ++$i)  $h[$i] = $f *= $i 
    
    return $h[$_[0]];

【讨论】：

或只是return $total if $i < 2;。在factorial 中传递总数大概是为了允许尾递归优化。

@MarkReed：您可能是对的，但无论如何都不需要factorial 函数... :)

@MarkReed：如果图片中有“尾递归优化”，我会推荐一个具有一个参数的代理函数，然后调用一个有两个参数（偶数函数）的内部函数。我认为它会更受用户欢迎。

这是一个比我预期的更好的响应！感谢您的时间，非常有见地，给了我很多实验。 :)

@bladepanthera：好的。在循环的第一次运行$k = 0; $P2 = 1103。在第二个循环$k = 1; $P2 = 1103 + 26390 * 1。第三个：$k = 2; $P2 = 1103 + 26390 * 2 等。在第 N 个循环中：$k = <N-1>; $P2 = 1103 + 26390 * <N-1> 我用在每个循环中添加 26390 替换了乘法，这更“便宜”。类似的乘法。我不是总是计算fact($k)，而是将一个变量（$F1）与$k 相乘，因此每个循环中的ist 值将是fact($k)。同样，乘法要便宜得多，然后在每个循环中计算fact($k)。