为啥带有抽象的 agda 不删除某些子句？

Posted 2023-05-08

【中文标题】为啥带有抽象的 agda 不删除某些子句？

【英文标题】：Why agda with-abstraction don't erase some clauses?为什么带有抽象的 agda 不删除某些子句？

【发布时间】：2019-12-29 23:35:12

【问题描述】：

我正在尝试在 Ulf Norell 和 James Chapman 编写的 Dependently Typed Programming in Agda 教程（第 23 页）中写一个作为练习留下的定理，但我不明白一个可能非常简单的事情。

基本上我有这些定义

data   False : Set where
record True  : Set where

data Bool : Set where
  true  : Bool
  false : Bool

isTrue : Bool -> Set
isTrue true  = True
isTrue false = False

satisfies : A : Set -> (A -> Bool) -> A -> Set
satisfies p x = isTrue (p x)

data List (A : Set) : Set where
  []   : List A
  _::_ : (x : A)(xs : List A) -> List A

infixr 30 _:all:_
data All A : Set (P : A -> Set) : List A -> Set where
  all[]   : All P []
  _:all:_ : forall x xs -> P x -> All P xs -> All P (x :: xs)

filter : A : Set -> (A -> Bool) -> List A -> List A
filter p [] = []
filter p (x :: xs) with p x
... | true  = x :: filter p xs
... | false = filter p xs

我正在努力解决这个问题

filter-all-lem : ∀ p xs -> All (satisfies p) (filter p xs)
filter-all-lem p [] with filter p []
... | [] = all[]
... | f :: fs = ?
filter-all-lem p x :: xs = ?

在第二个洞我还没有尝试过任何东西，这可能不是更好的方法，但我的问题不是这个。

filter p [] 是过滤器的第一种情况。它扩展到[]。那么为什么agda 不能推断出f :: fs 的情况是不可能的呢？统一应该很容易解决这个问题。但是，如果我尝试完全删除该子句或使用荒谬的模式，我会收到错误，因为并未涵盖所有可能性。

如果agda的统一规则不能自动做到这一点，我怎么能强迫它知道呢？也许重写？ （我现在还不知道怎么用agda重写）

【参考方案1】：

在这种情况下不需要with filter p []，正如您所说，您已经可以推断出filter p [] = []。所以你可以写

filter-all-lem p [] = all[]

为了理解子句，了解 Agda 如何扩展这些子句会有所帮助，这是一个本地函数，其中匹配的东西（在这种情况下为filter p []）是一个新参数。所以你得到

filter-all-lem p [] = helper p (filter p [])
  where
  helper :: ∀ p ys -> All (satisfies p) ys
  helper [] = all[]
  helper (f :: fs) = ?

在助手内部，您实际上失去了列表为空的知识。标准库中有检查习语以等式的形式保存这些知识，但这里不需要。

作为证明使用 with（例如 filter (x :: xs)）的函数的一般规则，您应该在证明中具有与 with 子句完全相同的结构，或者 with 包含独立匹配事物的子句类型。