如何找出哪个小计构成总和？

Posted 2023-05-08

【中文标题】如何找出哪个小计构成总和？

【英文标题】：How to find out which subtotal make up a sum?

【发布时间】：2013-07-26 09:39:46

【问题描述】：

我需要在一个列表中找到一个数字，这些数字构成了一个特定的总数：

Sum: 500

Subtotals: 10 490 20 5 5

In the end I need: 10 490, 490 5 5

您如何称呼这类问题？有没有算法可以有效地解决它？

【问题讨论】：

你试过了吗？

看起来像en.wikipedia.org/wiki/Subset_sum_problem。

我目前正在浏览这篇文章：en.wikipedia.org/wiki/Partition_(number_theory)

可以有负数吗？

【参考方案1】：

这是Knapsack problem，它是一个 NP 完全问题，即没有已知的有效算法。

【参考方案2】：

这不是背包问题。 在最坏的情况下，有 N 个小计，可能有 O(2^N) 的解决方案，所以任何最坏情况下的算法都不会比这更好（因此，问题根本不属于 NP 类）。

假设 Subtotals 数组中没有非正数元素，并且任何元素都不大于 Sum。我们可以对小计数组进行排序，然后构建尾和数组，在末尾添加 0。在您的示例中，它将如下所示：

Subtotals:   (490, 20, 10,  5, 5)  
PartialSums: (530, 40, 20, 10, 5, 0)

现在对于任何“剩余总和”S、位置 i 和“当前列表”L，我们都有问题 E(S, i, L)： E(0, i, L) = (打印 L)。 E(S, i, L) | (PartialSums[i] E(S, i, L) = E(S, i+1, L), E(S-Subtotals[i], j, L||Subtotals[i])，其中 j 是小计的第一个元素的索引大于或等于 (S-Subtotals[i]) 或 i+1，以较大者为准。 我们的问题是 E(Sum, 0, )。

当然，重复存在问题（如果您的列表中还有另外 490 个数字，此算法将输出 4 个解决方案）。如果这不是您需要的，使用对数组（值、多重性）可能会有所帮助。

P.S.如果问题的规模足够小，你也可以考虑动态规划：

从集合 0 开始。创建大小等于小计数组的集合数组。 对于每个小计，通过添加小计值从以前的集合创建一个新集合。删除所有大于 Sum 的元素。将它与之前的集合合并（它本质上是所有可能总和的集合）。

如果最终集合中没有 Sum，则无解。否则，您将解决方案从 Sum 回溯到 0，检查上一组是否包含 [value] 和 [value-subtotal]。 示例：

(10, 490, 20, 5, 5)

套装：

(0)
(0, 10)
(0, 10, 490, 500)
(0, 10, 20, 30, 490, 500) (510, 520 - discarded)
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 490, 495, 500)
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 490, 495, 500)

从上一组：[500-5]在上一组，[495-5]在上一组，[490-20]不在上一组（[490]是），[490-490]是0，结果回答 5, 5, 490。

【讨论】：

我无法从根本上理解您的解决方案的作用，但我确信最初的问题是背包问题。对于原始列表中的 n 个元素，这些元素有 2ⁿ 个子集，您需要确定其总和正好是给定整数的那些子集。找到一个这样的子集已经很困难了。必须枚举所有这些问题并没有使问题变得更容易。

第一：背包问题需要两组数字、重量和成本。第二：背包问题是寻找是否存在适合背包的布局并且成本超过给定N。因此，背包问题的假设解决方案不能轻易转换为该问题的解决方案，它们是不同的问题。第三：背包问题是NP完全的，这意味着它与SAT问题“等价”。 Kiril 提出的问题是不是 NP，因为在最坏的情况下，它无法在多项式时间内解决（具有非多项式大小的输出）。

看看en.wikipedia.org/wiki/…。此处列出了权重等于成本的情况，并附注“如果每个项目的利润和权重相同，我们就会得到子集和问题”。子集问题也是 NP 完全的。是的，枚举任何可能具有指数倍数的问题的所有解决方案在 NP 中都不是问题。当我写“这是一个背包问题”时，我是在简化。我想我应该写成“决策版本已经是一个类似背包的 NP 完全问题，通常称为子集和”。

嗯，还是有一些区别的。首先，我们不想“尽可能接近”目标总和，我们想准确地达到它。其次，（大概）没有负数。在这些条件下，我看不到从问题中导出另一个 NP 完全问题的解决方案的明显方法（找到部分和的单个子集）。此外，背包问题是 NP 完全的，当且仅当 size 的背包容量是无限的（例如，它可以是 60 或 100 或 500 位长的数字）。否则，问题不是 NP 完全的，存在多项式解。