C浮点精度[重复]

Posted 2023-02-17

【中文标题】C浮点精度[重复]

【英文标题】：C floating point precision [duplicate]

【发布时间】：2012-09-28 07:30:38

【问题描述】：

可能重复：Floating point comparison

我对 C/C++ 中浮点数的准确性有疑问。当我执行下面的程序时：

#include <stdio.h>

int main (void) 
    float a = 101.1;
    double b = 101.1;
    printf ("a: %f\n", a);
    printf ("b: %lf\n", b);
    return 0;

结果：

a: 101.099998
b: 101.100000

我相信 float 应该有 32 位所以应该足以存储 101.1 为什么？

【参考方案1】：

您只能以 IEEE754 精确表示数字（至少对于单精度和双精度二进制格式），前提是它们可以通过将 2 的倒数相加来构造（即，2<sup>-n</sup>，如 1、1/2、 1/4、1/65536 等）取决于可用于精度的位数。

在浮点数（23 位精度）或双倍（52 位精度）提供的缩放比例范围内，没有任何组合可以让您精确到 101.1。 p>

如果您想快速了解这种二次幂的工作原理，请参阅this answer。

将该答案中的知识应用于您的101.1 数字（作为单精度浮点数）：

s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm    1/n
0 10000101 10010100011001100110011
           |  | |   ||  ||  ||  |+- 8388608
           |  | |   ||  ||  ||  +-- 4194304
           |  | |   ||  ||  |+-----  524288
           |  | |   ||  ||  +------  262144
           |  | |   ||  |+---------   32768
           |  | |   ||  +----------   16384
           |  | |   |+-------------    2048
           |  | |   +--------------    1024
           |  | +------------------      64
           |  +--------------------      16
           +-----------------------       2

其中的尾数部分实际上一直持续到 101.1：

mmmmmmmmm mmmm mmmm mmmm mm
100101000 1100 1100 1100 11|00 1100 (and so on).

因此，这不是精度问题，没有多少有限位可以准确地以 IEEE754 格式表示该数字。

使用位来计算实际数（最接近的近似值），符号为正。指数为 128+4+1 = 133 - 127 偏差 = 6，因此乘数为 2⁶ 或 64。

尾数由 1（隐式基数）加上（对于所有这些位，每个位值 1/(2ⁿ)，因为 n 从 1 开始并向右增加），@987654332 @。

当你把所有这些加起来，你会得到1.57968747615814208984375。

当您将其乘以之前计算的乘数 64 时，您会得到 101.09999847412109375。

所有数字均使用bc 使用 100 位十进制数字的比例计算，导致大量尾随零，因此数字应该非常准确。更重要的是，因为我检查了结果：

#include <stdio.h>
int main (void) 
    float f = 101.1f;
    printf ("%.50f\n", f);
    return 0;

也给了我101.09999847412109375000...。

【讨论】：

"... 仅在 IEEE754 中精确表示数字，如果它们可以通过相加 ... 2 的倒数..." 似乎不完整，因为 IEEE754 还定义了带有倒数的浮点数十的幂。当然，IEEE754 二进制格式更常见。

@chux，这是一个非常有效的观点，调整了答案以明确这一点。

【参考方案2】：

您需要阅读更多关于how floating-point numbers work 的信息，尤其是representable numbers 上的部分。

对于为什么认为“32 位对 101.1 来说应该足够了”，你没有给出太多解释，所以很难反驳。

二进制浮点数不适用于所有十进制数，因为它们基本上存储数字，等待它，以 2 为底。与二进制一样。

这是众所周知的事实，这就是为什么例如钱永远不应该用浮点数处理。

【讨论】：

你能举例说明101.1是如何存储在计算机中的吗？

101.1 当然可以用 32 位表示。只是没有硬件支持的任何常用浮点格式。

@Jeremy 这取决于系统。我会向初学者推荐 Wikipedia 文章“浮点数”，尽管它没有为您提供足够的信息来实际开始使用它们。文章 [What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic] (docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html) 是我所知道的最好的介绍。

例如可以用定点999V9BCD格式i 16位表示为0001 0001 0001 0001。

【参考方案3】：

您的号码101.1 在基础10 中是1100101.0(0011) 在基础2 中。 0011 部分正在重复。因此，无论您有多少位数，数字都无法在计算机中准确表示。

查看IEE754 浮点标准，您会发现为什么double 版本似乎完全显示了它。

PS：101.1 在基数 10 中的推导是 1100101.0(0011) 在基数 2 中：

101 = 64 + 32 + 4 + 1
101 -> 1100101

.1 * 2 =  .2 -> 0
.2 * 2 =  .4 -> 0
.4 * 2 =  .8 -> 0
.8 * 2 = 1.6 -> 1
.6 * 2 = 1.2 -> 1
.2 * 2 =  .4 -> 0
.4 * 2 =  .8 -> 0
.8 * 2 = 1.6 -> 1
.6 * 2 = 1.2 -> 1
.2 * 2 =  .4 -> 0
.4 * 2 =  .8 -> 0
.8 * 2 = 1.6 -> 1
.6 * 2 = 1.2 -> 1
.2 * 2 =  .4 -> 0
.4 * 2 =  .8 -> 0
.8 * 2 = 1.6 -> 1
.6 * 2 = 1.2 -> 1
.2 * 2 =  .4 -> 0
.4 * 2 =  .8 -> 0
.8 * 2 = 1.6 -> 1
.6 * 2 = 1.2 -> 1
.2 * 2....

PPS：如果您想将1/3 的结果完全存储在基础10 中，也是一样的。

【参考方案4】：

您在这里看到的是两个因素的组合：

IEEE754 浮点表示法无法准确表示一整类有理数和所有无理数 printf 中舍入的效果（默认为 6 位小数）。也就是说，使用double 时的错误发生在第 6 个 DP 右侧的某处。

【参考方案5】：

如果double 的打印数字更多，您会发现即使double 也无法准确表示：

 printf ("b: %.16f\n", b);

 b: 101.0999999999999943

问题是float 和double 使用二进制格式，并不是所有的浮点数都可以用二进制格式精确表示。

【参考方案6】：

不幸的是，大多数十进制浮点数无法用（机器）浮点精确表示。这就是事情的运作方式。

例如，二进制中的数字 101.1 将表示为 1100101.0(0011)（0011 部分将永远重复），因此无论您必须存储多少字节，它都永远不会准确。 Here 是一篇关于浮点二进制表示的小文章，here 你可以找到一些将浮点数转换为二进制的例子。

如果你想了解更多关于这个主题的信息，我可以推荐你this article，虽然它很长而且不太容易阅读。

【讨论】：

更多是词汇问题，但我会说“大多数实数不能用（机器）浮点数准确表示”，或者“大多数十进制浮点数不能用（机器）准确表示浮点”。 （后者显然只有在机器浮点不是十进制的情况下才是正确的。但是虽然我过去使用过带十进制浮点的机器，但我认为今天只有基数 2、8 和 16 仍然存在。）

@James，编辑了答案，谢谢 ;)