对矩阵进行对角化以计算矩阵功率？

Posted 2023-04-14

【中文标题】对矩阵进行对角化以计算矩阵功率？

【英文标题】：Diagonalize a matrix to compute matrix power?

【发布时间】：2020-02-02 21:53:47

【问题描述】：

我正在尝试计算P^100，其中P 是我的转换矩阵。我想通过对角化P 来做到这一点，这样我们就有了P = Q*D*Q^-1。

当然，如果我能让P 成为这种形式，那么我可以很容易地计算出P^100 = Q*D^100*Q^-1（其中* 表示矩阵乘法）。

我发现，如果您只执行P^5，您将得到的只是一个矩阵，其中 P 的每个条目都被提升到 5 次方，而不是矩阵的 5 次方 (P*P*P*P*P )。

我在这里发现了一个问题，询问如何检查矩阵是否可对角化，而不是如何显式构造矩阵的对角化。在 MATLAB 中它非常简单，但我使用的是 R 而不是 MATLAB。

【问题讨论】：

正则算术运算符在 R 中是元素级的。您应该能够执行 P%*%P%*%P%*%P%*%P 并且可能类似于 Reduce('%*%', as.list(rep(P,5) ) )

【参考方案1】：

eigen() 函数将为您计算特征值和特征向量（在您的表达式中，特征向量矩阵为 Q，特征值中的 diag() 为 D）。

您还可以使用expm package 中的%^% 运算符，或this question 的答案中描述的其他包中的函数。

使用其他人的代码的优点是它已经过测试和调试，并且可以使用更快或更健壮的算法（例如，通过composing powers of two of the matrix 计算矩阵幂通常比进行特征向量计算更有效） .编写自己的方法的好处是你会更好地理解它。