四元数绕轴旋转的分量

Posted 2023-04-12

【中文标题】四元数绕轴旋转的分量

【英文标题】：Component of a quaternion rotation around an axis

【发布时间】：2011-04-10 16:49:40

【问题描述】：

我无法找到有关此主题的任何有用信息。基本上我想找到四元数旋转的分量，即围绕给定轴（不一定是 X、Y 或 Z - 任何任意单位向量）。有点像将四元数投影到向量上。因此，如果我要要求围绕与四元数轴平行的某个轴进行旋转，我会得到相同的四元数。如果我要要求绕与四元数轴正交的轴旋转，我会得到一个恒等四元数。介于两者之间......嗯，这就是我想知道如何解决的问题:)

【问题讨论】：

向量的正交和垂直是相同的。对于身份四元数情况，您可能意味着并行。

哇；注意到了！我已经读了好几遍了（并且让同事们独立搜索同样的东西并找到了这个问题）并且以前从未注意到这一点。我的意思是平行于不变的情况（例如，围绕 Y 轴、围绕 Y 轴的旋转分量将保持不变），并更新了问题以反映这一点。谢谢！

【参考方案1】：

这个问题有一个优雅的解决方案，特别适用于四元数。它被称为“摆动扭曲分解”：

伪代码

/**
   Decompose the rotation on to 2 parts.
   1. Twist - rotation around the "direction" vector
   2. Swing - rotation around axis that is perpendicular to "direction" vector
   The rotation can be composed back by 
   rotation = swing * twist

   has singularity in case of swing_rotation close to 180 degrees rotation.
   if the input quaternion is of non-unit length, the outputs are non-unit as well
   otherwise, outputs are both unit
*/
inline void swing_twist_decomposition( const xxquaternion& rotation,
                                       const vector3&      direction,
                                       xxquaternion&       swing,
                                       xxquaternion&       twist)

    vector3 ra( rotation.x, rotation.y, rotation.z ); // rotation axis
    vector3 p = projection( ra, direction ); // return projection v1 on to v2  (parallel component)
    twist.set( p.x, p.y, p.z, rotation.w );
    twist.normalize();
    swing = rotation * twist.conjugated();

并且可以在此处找到此代码的详细答案和推导 http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/for/decomposition/

【讨论】：

请注意论文“SWING-TWIST DECOMPOSITION IN CLIFFORD ALGEBRA”的一般推导

@minorlogic 这看起来不错，但是我们如何处理奇点呢？我可能误解了一些东西，但如果这个解决方案在一小部分时间内中断，那么它肯定不是很有用吗？

检查“twist”长度不为零可以很容易地捕捉到奇点。它不在上面的代码中（为了简化代码）。

如何检查奇点以及它会出现在哪里？

这是最好的答案，但是少了一步：如果ra和p的点积是负数，那么你应该否定twist的所有四个分量，这样生成的旋转轴指向与direction 相同的方向。否则，如果您尝试测量旋转角度（忽略轴），您将混淆旋转及其倒数的混合，这取决于在projection(ra, direction) 期间旋转轴方向是否翻转。请注意，projection(ra, direction) 计算的是点积，因此您应该重复使用它而不是计算两次。

【参考方案2】：

前几天我试图为动画编辑器找到完全相同的东西；这是我的做法：

选择要绕其旋转的轴，并找到与其正交的向量。 使用四元数旋转这个新向量。 将此旋转矢量投影到以您的轴为法线的平面上

这个投影向量和原始正交的点积的acos就是你的角度。

public static float FindQuaternionTwist(Quaternion q, Vector3 axis)

    axis.Normalize();

    // Get the plane the axis is a normal of
    Vector3 orthonormal1, orthonormal2;
    ExMath.FindOrthonormals(axis, out orthonormal1, out orthonormal2);

    Vector3 transformed = Vector3.Transform(orthonormal1, q);

    // Project transformed vector onto plane
    Vector3 flattened = transformed - (Vector3.Dot(transformed, axis) * axis);
    flattened.Normalize();

    // Get angle between original vector and projected transform to get angle around normal
    float a = (float)Math.Acos((double)Vector3.Dot(orthonormal1, flattened));

    return a;

这里是找到正交的代码，但是如果你只想要上述方法的一个，你可能会做得更好：

private static Matrix OrthoX = Matrix.CreateRotationX(MathHelper.ToRadians(90));
private static Matrix OrthoY = Matrix.CreateRotationY(MathHelper.ToRadians(90));

public static void FindOrthonormals(Vector3 normal, out Vector3 orthonormal1, out Vector3 orthonormal2)

    Vector3 w = Vector3.Transform(normal, OrthoX);
    float dot = Vector3.Dot(normal, w);
    if (Math.Abs(dot) > 0.6)
    
        w = Vector3.Transform(normal, OrthoY);
    
    w.Normalize();

    orthonormal1 = Vector3.Cross(normal, w);
    orthonormal1.Normalize();
    orthonormal2 = Vector3.Cross(normal, orthonormal1);
    orthonormal2.Normalize();

虽然上述方法有效，但您可能会发现它的行为与您预期的不同。 例如，如果您的四元数将矢量旋转 90 度。大约 X 和 90 度。围绕 Y 你会发现，如果你分解围绕 Z 的旋转，它将是 90 度。也是。如果您想象一个矢量进行这些旋转，那么这非常有意义，但取决于您的应用程序，它可能不是所需的行为。 对于我的应用程序——约束骨骼关节——我最终得到了一个混合系统。矩阵/四元组自始至终都使用，但当涉及到约束关节的方法时，我在内部使用欧拉角，每次将旋转四元组分解为围绕 X、Y、Z 的旋转。

祝你好运，希望对你有所帮助。

【讨论】：

我现在正在工作，我稍后再试试，如果它有效，我会有点高兴:)在此特定文本框中，“输入”表示“提交”）

谢谢（尽管请检查我提出的第一个问题及其答案，看看您是否仍然这么认为！;)）。以防万一，如果您需要将四元数分解为欧拉（这使得重新创建更容易），ed022 在这里有一个非常好的实现：forums.create.msdn.com/forums/p/4574/62520.aspx（第 17 篇文章）。祝你的应用好运！

有个小问题，返回值总是正数。这意味着如果我有-PI/4（或7*PI/4）的旋转，我会得到PI/4。我在这里错过了什么吗？

@João，你没有遗漏任何东西，但可能稍微误解了它的工作原理:) 这种方法的核心是 resulting 向量的点积的 acos - 到换句话说——这种方法不是“直接”对四元数进行操作，而是“观察”应用该四元数的结果。因此，返回的角度将始终是两个向量之间的最小角度，并将限制在 0-360 度。您可以使用叉积来恢复变换角度是负的还是正的。祝你好运！

@sebf 你能详细说明一下吗？您需要对哪些向量应用叉积才能找出答案？

【参考方案3】：

minorlogic 指出摆动扭曲分解的答案是迄今为止最好的答案，但它缺少重要的一步。问题（使用 Minorlogic 的伪代码符号）是，如果 ra 和 p 的点积为负，则需要将 twist 的所有四个分量取反，以便生成的旋转轴指向与direction。否则，如果您尝试测量旋转角度（忽略轴），您将混淆正确旋转和正确旋转的 reverse 的混合，具体取决于旋转轴是否调用projection(ra, direction) 时方向发生了翻转。请注意，projection(ra, direction) 计算的是点积，因此您应该重复使用它而不是计算两次。

这是我自己的摆动扭曲投影版本（在某些情况下使用不同的变量名称而不是 Minorlogic 的变量名称），并进行了点积校正。代码用于 JOML JDK 库，例如v.mul(a, new Vector3d()) 计算 a * v，并将其存储在一个新的向量中，然后返回。

/**
 * Use the swing-twist decomposition to get the component of a rotation
 * around the given axis.
 *
 * N.B. assumes direction is normalized (to save work in calculating projection).
 * 
 * @param rotation  The rotation.
 * @param direction The axis.
 * @return The component of rotation about the axis.
 */
private static Quaterniond getRotationComponentAboutAxis(
            Quaterniond rotation, Vector3d direction) 
    Vector3d rotationAxis = new Vector3d(rotation.x, rotation.y, rotation.z);
    double dotProd = direction.dot(rotationAxis);
    // Shortcut calculation of `projection` requires `direction` to be normalized
    Vector3d projection = direction.mul(dotProd, new Vector3d());
    Quaterniond twist = new Quaterniond(
            projection.x, projection.y, projection.z, rotation.w).normalize();
    if (dotProd < 0.0) 
        // Ensure `twist` points towards `direction`
        twist.x = -twist.x;
        twist.y = -twist.y;
        twist.z = -twist.z;
        twist.w = -twist.w;
        // Rotation angle `twist.angle()` is now reliable
    
    return twist;

【参考方案4】：

Unity3d 代码

// We have some given data
Quaternion rotation = ...;
Vector3 directionAxis = ...;

// Transform quaternion to angle-axis form
rotation.ToAngleAxis(out float angle, out Vector3 rotationAxis);

// Projection magnitude is what we found - a component of a quaternion rotation around an axis to some direction axis
float proj = Vector3.Project(rotationAxis.normalized, directionAxis.normalized).magnitude;

【参考方案5】：

我尝试实现了sebf的回答，看起来不错，除了步骤1中vector的选择：

选择要绕其旋转的轴，然后找到 正交向量。

不足以获得可重复的结果。我已经在纸上开发了这个，我建议采取以下措施来选择与“你想要找到旋转的轴”正交的向量，即观察轴。有一个垂直于观察轴的平面。您必须将四元数的旋转轴投影到该平面上。使用这个结果向量作为与观察轴正交的向量会得到很好的结果。

感谢 sebf 让我走上正确的道路。

【讨论】：

如果观察轴等于旋转轴，那么这将产生一个长度为零的向量，因此必须检查这种情况。

看我的回答，它可能会解决您关于结果可重复性的问题。