Java中使用PriorityQueue的第k个最小数字的时间复杂度

Posted 2023-02-16

【中文标题】Java中使用PriorityQueue的第k个最小数字的时间复杂度

【英文标题】：Time complexity of k-th smallest number using PriorityQueue in Java

【发布时间】：2019-03-15 19:37:32

【问题描述】：

我正在尝试解决流行的面试问题Find the k-th smallest number in an array of distinct integers。我看了一些解决方案，发现堆数据结构非常适合这个问题。

因此，我尝试使用 Collections 框架的PriorityQueue 类来实现一个解决方案，假设它在功能上与堆相同。

这是我尝试过的代码：

public static int getKthMinimum(int[] input, int k)
    PriorityQueue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();

    // Total cost of building the heap - O(n) or O(n log n) ?
    for(int num : input)
        heap.add(num);      // Add to heap - O(log n)
    

    // Total cost of removing k smallest elements - O(k log n) < O(n) ?
    while(k > 0)
        heap.poll();        // Remove min - O(log n)
        k--;
    
    return heap.peek();     // Fetch root - O(1) 

基于docs，poll 和 add 方法需要 O(log n) 时间，而 peek 需要恒定时间。

while 循环的时间复杂度是多少？ （我认为 O(k log n)）。 就本问题而言，是否应将 O(k log n) 视为高于 O(n)？是否有切换的阈值？ 这段代码的总时间复杂度是多少？会是 O(n) 吗？ 如果还不是 O(n)，有没有办法在 O(n) 中解决它，同时使用 PriorityQueue 类？

【参考方案1】：

1。 while 循环的时间复杂度是多少？ （我认为 O(k log n)）。

O(k log n) 是正确的。

2。出于这个问题的目的，是否应该将 O(k log n) 视为高于 O(n)？有没有切换的门槛？

你不能这样假设。 k 可以是 0 到 n-1 之间的任意值，这意味着 k log n 可以是 0 之间的任意值到 n 记录 n。

3。这段代码的总时间复杂度是多少？会是O(n)吗？

O(n log n)，因为这是构建堆的成本。

可以在 O(n) 时间内构建一个堆，但您的代码不会这样做；如果是这样，那么您的总复杂度将是 O(n + k log n) 或者，等效地，O(MAX(n, k log n))。

4。如果还不是 O(n)，有没有办法在 O(n) 中解决它，同时使用 PriorityQueue 类？

没有。在最坏情况O(n) 时间存在selection algorithms，但它们有点复杂，它们不使用PriorityQueue。

最快的基于PriorityQueue 的解决方案需要 O(MAX(n, n log MIN(k em>, n-k))) 时间。 （关键是在迭代时只保留堆中 k 个最小的元素——或者 n-k 个最大的元素并使用 max-堆，如果 k 足够大，值得这样做。）