如何在 Coq 中使用包含全称量词的假设？

Posted 2023-03-28

【中文标题】如何在 Coq 中使用包含全称量词的假设？

【英文标题】：how to use hypothesis which includes universal quantifier in Coq?

【发布时间】：2017-06-16 09:43:02

【问题描述】：

我是 Coq 的新手。我对以下证明感到困惑：

Lemma nth_eq : forall A (l1 l2 : list A),
length l1 = length l2 ->
(forall d k, nth k l1 d = nth k l2 d) ->l1 = l2.
Proof.
  intros.

结果显示：

1 subgoal
A : Type
l1, l2 : list A
H : length l1 = length l2
H0 : forall (d : A) (k : nat), nth k l1 d = nth k l2 d
______________________________________(1/1)
l1 = l2

使用 H0 和 H 的推论很明显，但我不知道如何使用 H0 来完成证明。非常感谢您的帮助！

【问题讨论】：

你试过induction 吗？

是的。但除非我将 H0 转换为其他形式，否则它不起作用。

我建议查看this question 及其下的 cmets。但是H0 在这里并不是一个真正的问题，您需要概括您的归纳假设才能通过证明。

你如何只用纸笔证明这个定理？ “显而易见”并不是一个真正令人满意的答案。

【参考方案1】：

由于已经有一段时间了，OP 还没有回复gallais 的评论，我将在这里提出一个解决方案，希望它应该很容易在 IDE 中逐步完成证明。

Require Import List.

Lemma nth_eq : forall A (l1 l2 : list A),
length l1 = length l2 ->
(forall d k, nth k l1 d = nth k l2 d) ->l1 = l2.
Proof.
(* shortcut to the below:
   induction l1; destruct l2; try discriminate 1.
   will eliminate two of the cases for you *)
induction l1; destruct l2.
+ reflexivity.
+ discriminate 1.
+ discriminate 1.
+ intros. f_equal.
  - specialize H0 with (d := a) (k := 0). simpl in H0. assumption.
  - apply IHl1.
    * simpl in H. injection H. trivial.
    * intros. specialize H0 with (d := d) (k := S k). simpl in H0.
      assumption.
Qed.