复杂度为 O(n log n) 的分治算法

Posted 2023-03-27

【中文标题】复杂度为 O(n log n) 的分治算法

【英文标题】：An Divide and conquer algorithm with complexity O(n log n)

【发布时间】：2021-06-22 18:56:47

【问题描述】：

我有两个数字序列 (a1, a2, ... , an) 和 (b1, b2, ... , bn)。对于任何 i, j ∈ [n] 我们说 (ai, bi) 和 (aj, bj ) 一致，如果 ai aj ∧ bi > bj 我可以假设所有数字都是不同的。）否则他们不同意。令 A 为一致的对数，D 为不一致的对数。给出一个算法在 O(n log n) 时间内计算 A - D。

我不知道如何通过分而治之的算法来解决它。有人可以帮我吗？

【参考方案1】：

这个问题可以简化为对序列中inversions的个数进行计数的问题。

首先，将输入重写为单个数组对 (a₁, b₁), (a₂, b₂), ... (a_n, b_n)，然后按照 a _{的升序对这个序列进行排序i} 组件。由于数字都是不同的，因此在结果序列中我们有 a_i j 当且仅当 i i 分量的结果序列中的反转数，即 i i j。数字 A 等于 n(n - 1)/2 - D，因为每一对要么“同意”，要么“不同意”。

使用基于归并排序的分治算法，可以在 O(n log n) 时间内计算该序列中的倒数，详见this other Q&A。