直线上最近的一对点

Posted 2023-03-27

【中文标题】直线上最近的一对点

【英文标题】：Closest pair of points across a line

【发布时间】：2013-09-07 22:29:53

【问题描述】：

我有两组 2D 点，它们在平面上被一条线分开。我想有效地找到一对点，​​由每组中的一个点组成，它们之间的距离最小。 Radu Litiu 有一篇看起来非常方便的论文，两个分离点集的最近对，但它使用 L1（曼哈顿）距离度量而不是欧几里得距离。

有人知道适用于欧几里得距离的类似算法吗？

我几乎可以看到标准分治最近对算法的扩展——将这两个集合除以垂直于原始分割线的中线，在两侧递归，然后寻找一个更接近的对距离中位数的每一侧一个点。如果与递归步骤的最小距离为 d，则中值一侧的点的伴星必须位于尺寸为 2d*d 的框内。但与原始算法不同的是，我看不到任何方法来限制该框内的点数，因此整个算法就变成了 O(m*n)。

有什么想法吗？

【问题讨论】：

我们在谈论多少分？

N 个。 :-) 在这种情况下，一个简单的 m*n 蛮力扫描可能会具有最佳的挂钟性能，但从更理论的角度来看，我也对这个问题感兴趣。

【参考方案1】：

Evgeny's answer 可以工作，但如果没有库支持，需要付出很多努力：计算完整的 Voronoi 图以及额外的扫描线算法。更容易依次枚举两组点的 Voronoi 单元格与分隔线相交的点，然后通过线性时间合并步骤测试单元格相交的所有点对。

要计算所需的 Voronoi 图片段，假设 x 轴是分隔线。按 x 坐标对集合中的点进行排序，丢弃 y 大于其他具有相同 x 的点的点。开始按 x 坐标顺序扫描这些点，将它们压入堆栈。在推送之间，如果堆栈至少有三个点，例如 p、q、r，其中 r 最近被推送，则测试平分 pq 的线是否与平分 qr 的线之后的分隔线相交。如果是这样，丢弃 q，并用新的前三名重复测试。粗略的 ASCII 艺术：

Case 1: retain q

------1-2-------------- separating line
     /  |
  p /   |
   \    |
    q-------r

Case 2: discard q

--2---1---------------- separating line
   \ /
  p X r
   \ /
    q

【讨论】：

呵呵，那就更好了。如果这些点是预先排序的 WRT 分隔线（它们实际上可能是，我需要检查），看起来这会将算法降低到线性时间。非常好！

【参考方案2】：

对于一组中的每个点，在另一组中找到最近的点。这样做时，只保留一对点之间的距离最小。这将给定问题减少到另一个问题："Algorithm to find for all points in set A the nearest neighbor in set B"，这可以使用扫描线算法解决（1）一组点和（2）其他组的 Voronoi 图。

算法复杂度为 O((M+N) log M)。而且这个算法没有利用两组点被一条线隔开的事实。

【讨论】：

啊，聪明。所以先构建 Voronoi 图，然后进行扫描，扫描用于将点与 Voronoi 区域相关联，而不需要对每个点进行单独的最近邻搜索。很好的答案！

【参考方案3】：

这个怎么样：

判断任意一点在哪一边：

让 P 成为您的点 (P0,...Pi,...Pn) 设A,B为分隔线起点 所以：side(Pi) = ((B-A).(Pi-A)) 的符号 这是基于一个简单的事实，即标量向量乘法（点积）的符号取决于点的顺序（有关详细信息，请参阅三角形/多边形缠绕规则）

求任何 (Pi,Pj) 的最小距离，其中 side(Pi)!=side(pj)

所以首先计算所有点的所有边 O(N) 然后循环遍历所有 Pi 和里面的 for 循环遍历所有 Pj 并搜索最小距离。 如果 Pi 和 Pj 组近似。大小相等，它是 O((N/2)^2)

您可以通过与 AB 的“距离”对点 Pi、Pj 进行“排序”来进一步优化搜索

您可以使用另一个点积来执行此操作，这次改为 (B-A) 对它使用垂直向量，比如说 (C-A) 丢弃 Pi2 中的所有点（以及类似的 Pj2） 其中 ((B-A).(P(i1)-A)) 接近于 ((B-A).(P(i2)-A)) 和|((C-A).(P(i1)-A))| 因为这意味着 Pi2 落后于 Pi1（远离 AB） 并且接近 AB 接近 Pi1 的正常值 此优化后的复杂性很大程度上取决于数据集。 应该是 O(N+(Ni*Nj)) 其中 Ni/Nj 是剩余点数 Pi/Pj 你需要2N个点积，Ni*Nj距离比较（不需要sqrt-ed）

【讨论】：

第 2 步在 O(mn) 中。有一些更简单的解决方案可以在 O(mn) 中运行。

是的，因此有步骤 3 来代替步骤 2。但是是的，它仍然是 O(N+m*n)。但 N 和 m,n 之间的相关性是未知且非线性的

这里的蛮力方法是我试图避免的。我可以使用迄今为止最好的距离来剔除每个点的搜索窗口，但这并不能提供任何保证。

【参考方案4】：

解决此问题的典型方法是扫描线算法。假设您有一个坐标系，其中包含所有点和从不同集合中分隔点的线。现在想象一条垂直于分隔线的线以升序从一个点跳到另一个点。为方便起见，您可以旋转和平移点集和分隔线，使分隔线等于 x 轴。扫描线现在与 y 轴平行。

使用扫描线从一个点跳到另一个点，跟踪不同集合中两个点的最短距离。如果前几个点都来自同一组，那么很容易找到一个公式，它会告诉您必须记住哪一个，直到您从另一组中击中第一个点。

假设你总共有 N 个点。您必须对 O(N*log(N)) 中的所有点进行排序。扫描线算法本身将在 O(N) 中运行。

【讨论】：

如果那是最小欧几里得距离，我不支持...欧几里得空间中每边的最近点可能比离分隔线的最近点更远。它有点抽象的图像会更好，可能是我对问题的理解与我应该的不同。

不确定扫描线算法如何在这里工作......当以 y 顺序处理一个新点时，您将如何在恒定时间内确定另一组中最近的点是什么？

@Ben：通过跟踪最近的最短距离。如果到另一组最后一个点的新距离更大，那么继续。如果不是，那就是新的最短距离。

【参考方案5】：

（我不确定这是否与大卫的想法有任何相似之处......我只是在登录后才看到它发表我的想法。）为了争论，假设我们把所有东西都换了，所以划分line 是 x 轴，并按 x 坐标对我们的点进行排序。假设 N 不太大，如果我们沿 x 轴扫描（即遍历我们的 a 和 b 的排序列表），我们可以记录总体最小值和两个通过点列表。扫描中的当前点针对来自另一个列表的每个通过点进行测试，而从列表中的点到（我们扫描的 x 坐标，0）的距离大于或等于整体最小值。在下面的例子中，当到达b2时，我们可以在a2停止测试。

        scan ->                 
      Y                           
      |         a2         
      |                   
      |   a1           a3   
X--------------------------
      |     b1           b3
      |             b2