我可以计算距离严格小于 delta 的最近分割点对吗

Posted 2023-03-27

【中文标题】我可以计算距离严格小于 delta 的最近分割点对吗

【英文标题】：Can I compute closest split pair of points where distance is strictly less than delta

【发布时间】：2019-06-02 10:41:11

【问题描述】：

最近的Pair of Points Problem 最近让我很感兴趣。更具体地说，分治算法。

这种递归算法要求我将一组点分成两个块，a 和 b，并为每个块计算最接近的点对，然后计算块之间最接近的点对并返回最小值这 3 个数量。

计算块之间最近点的算法仅通过迭代至多 7 个点来工作，这些点距 a 中的最后一个点（整个集合的平均元素）至多为 min(a, b)。

这两张图片更好地代表了这个问题。 min(a, b) = Delta.

我知道，如果我要在两侧的 l 线上有 2 个点，a 和 b，我需要在中间的条带上最多比较 7 个点。

我想知道的是，如果我构造中间带的点严格小于 Delta 远离l，我不能只比较接下来的 4 个点，而不是 7 个，因为我只能适合 2 个点在l 的每一侧，距离l 的距离小于Delta 和距离彼此的Delta？

编辑： 我也为 cs stackexchange 上的一个非常相似的问题开始了赏金，我们在那里提出了一个非常有趣的讨论。所以我链接它here。我们还开始了一次非常有见地的聊天here。

【问题讨论】：

“我只能在 l Delta 的每一侧放置 2 个点彼此远离”。事实上，我们可以拟合 3 个点。

4 次比较就足够了。但是，我还没有找到一个不乱的证明。

顺便说一句，很好的观察和很好的问题。刚刚都投了赞成票。

【参考方案1】：

注意：此答案已根据与 @Danilo Souza Morães 和 @burnabyRails（accepted answer 的作者）就 Danilo 在 CS 网站上提出的类似问题的广泛讨论进行更新，以供将来参考.原始答案的主要问题是我假设这里使用/讨论了一些不同的算法。由于最初的答案为达尼洛提供了一些重要的见解，因此它在最后被保留了下来。此外，如果您要阅读 Danilo 在他的回答中提到的discussion，请务必先阅读此处的介绍，以更好地理解我的意思。添加的前言讨论了相关算法的不同版本。

简介

该算法基于两个主要思想：

典型的递归分治法 事实上，如果您已经知道左右区域的最佳距离，您可以在O(N) 时间执行“合并”步骤，因为您可以证明您可以在O(1) 时间对每个点进行检查.

尽管如此，在实践中仍有多种方法可以实现相同的基本思想，尤其是组合步骤。主要区别在于：

您是否会以不同的方式独立处理“左”点和“右”点？ 您是针对每个点进行固定数量的检查，还是先过滤候选者，然后只对过滤后的候选者进行距离检查？请注意，如果您可以确保在摊销 O(1) 中完成过滤，您可以在不破坏 O(N*log(N)) 时间的情况下进行一些过滤。换句话说，如果您知道优秀候选人的数量有一个很大的上限，您就不必准确检查候选人的数量。

CLRS Introduction to Algorithms 中算法的经典描述清楚地回答了问题 #1，因为您将“左”和“右”点混合在一起并共同对待它们。至于＃2，答案不太清楚（对我来说），但它可能意味着检查一些固定数量的点。这似乎是达尼洛提出问题时想到的版本。

我想到的算法在这两点上都不同：它向上通过“左”点，并对照所有过滤的“右”候选点检查它们。显然，在我写答案时以及在聊天中进行初步讨论时，我并没有意识到这种差异。

“我的”算法

这是我想到的算法的草图。

开始步骤很常见：我们已经处理了“左”和“右”点，并且知道目前为止最好的?，我们将它们沿着Y 轴排序。我们还过滤掉了所有不在±? 条带中的点。

外循环是我们通过“左”点向上。现在假设我们处理一个，我们称之为“左点”。此外，在必要时，我们会半独立地迭代移动“起始位置”的“正确”点（参见步骤 #2）。

1234563 Y 轴。 （注意：分离“左”点和“右”点是必须从-? 开始的原因）

现在从该起始位置继续向上并计算与当前左侧点位于+? 之前的所有点的距离。

在第 2 步和第 3 步中完成的过滤使其“依赖于数据”。此实现中的权衡是，您以更多Y-checks 为代价进行更少的距离检查。此外，代码可能更复杂。

为什么这种组合算法适用于O(N)？出于同样的原因，在矩形?x2? 中可以容纳多少个点有一个固定界限（即O(1)），这样每两个点之间的距离至少为?。这意味着将在第 3 步进行O(1) 检查。实际上，该算法检查的所有距离都将由 CLRS 版本检查，并且根据数据，可能还会检查更多距离。

第 2 步的摊销成本也是 O(1)，因为第 2 步在整个外循环上的总成本是 O(n)：您显然不能将起始位置向上移动的次数超过总共“正确的点”。

改进的 CLRS 算法

即使在算法的 CLRS 版本中，您也可以轻松地对 #2 做出不同的决定。关键步骤的描述说：

对于数组Y′ 中的每个点p，算法会尝试在Y′ 中找到位于δ 单位p 内的点。正如我们很快将看到的，只需要考虑Y′ 中紧随p 的7 个点。该算法计算从 p 到每个 7 点的距离，并跟踪在 Y′ 中的所有点对中找到的最近对距离 δ′

很容易修改为不检查7点，而是首先检查Y的差异是否小于?。显然，您仍然保证需要检查不超过7 点。同样的权衡是你做的距离检查更少，但做一些Y-difference 检查。根据您的数据和硬件上不同操作的相对性能，这可能是一个好坏的权衡。

其他一些重要的想法

如果您不需要找到所有距离最小的对，您可以在过滤时安全地使用<?`` instead of

在使用浮点数表示的真实硬件世界中，= 的概念并不那么清楚。通常你需要检查类似abs(a - b) < έ 的东西。

我的反例背后的想法（针对不同的算法）：您不必将所有点都放在边缘上。边为? 的等边三角形可以放入大小为?-έ 的正方形中（即<? 的另一种说法）

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原答案

我认为您没有正确理解该算法中常量7 的含义。实际上，您不会检查4 或7 或任何固定数量的点，而是沿着Y 轴向上（或向下）并检查落入相应矩形的点。很容易可能只有0 这样的点。对于算法在承诺的O(n*log(n)) 时间内运行真正重要的是，在该步骤检查的点数有一个固定上限。只要你能证明它，任何 constant 上限都可以工作。换句话说，重要的是该步骤是O(n)，而不是特定的常数。 7 只是一个比较容易证明的，仅此而已。

我相信7 的实际原因是，在真实硬件上，您无法精确计算浮点数据类型中的距离，您肯定会遇到一些舍入误差。这就是为什么使用< 而不是<= 并不实用。

最后我不认为4 是一个正确的界限，假设你可以可靠地做到<。假设? = 1。让“左”点为(-0.0001; 0)，因此“右”< 矩形为0 <= x < 1 和-1 < y < 1。考虑以下 5 个点（想法是：几乎在角落的 4 个点正好适合矩形< ? 和它们之间的距离> ?，第 5 个在矩形的中心）：

P1 = (0.001; 0.999) P2 = (0.999; 0.93) P3 = (0.001; -0.999) P4 = (0.999; -0.93) P5 = (0.5; 0)

请注意，这 5 个点之间的距离应大于?，其中一些距离“左”点可能小于?。这就是我们首先检查它们的原因。

距离P1-P2（和对称的P3-P4）是

sqrt(0.998^2 + 0.069^2) = sqrt(0.996004 + 0.004761) = sqrt(1.000765) > 1

距离P1-P5（和对称的P3-P5）是

sqrt(0.499^2 + 0.999^2) = sqrt(0.249001 + 0.998001) = sqrt(1.247002) > 1

距离P2-P5（和对称的P4-P5）是

sqrt(0.499^2 + 0.93^2) = sqrt(0.249001 + 0.8649) = sqrt(1.113901) > 1

因此，您可以将5 点放入这样一个明显大于4 的< 矩形中。

【讨论】：

我不确定你是如何得出我不懂算法的结论的。我并不是说 4 次比较会呈现渐近更快的算法。我只是想问一下 wikipedia 中给出的常数 7 是否可以缩减到 4，因为这是适合边长小于 ? 的矩形的最大点数。我在问题中提出了所有这些事实，以表明我完全理解算法的工作原理，但我正在寻找一种方法来证明我提出的这个小改进确实有效。

@DaniloSouzaMorães，好吧，我可能误解了你，抱歉。我仍然不喜欢你称之为“改进”的事实，因为它并没有真正影响任何事情。无论如何，您是否看到我的反例并在我的答案末尾有 5 分的问题？恕我直言，它显然反驳了将其缩减到 4 的整个想法。

您的答案正是我想要的。我以前没有接受它，因为我花了相当长的时间研究和绘制它。我对我提出的另一个问题也得到了很好的回答，所以我只是在那里发表了一些评论，然后才转到 SO 接受你的

你是对的，这不是一种改进，因为它不起作用。我的假设是我最多可以拟合 2 个点，彼此相距 δ，与 l 相距小于 δ。我认为是这种情况，因为如果我要在边 δ 的正方形的角上放置 3 个点，然后开始将一个边缘上的 2 个点移动到更靠近第 3 个点，那么第 3 个点将被强制移出正方形保持δ的最小距离。但事实并非如此，正如你用你的一组点所展示的那样。第三个点可以向边缘的中心移动，最终形成一个等边三角形。

@DaniloSouzaMorães，我不喜欢称其为“改进”，不是因为它是错误的，而是因为即使它是真的，它既不会影响算法的实际性能，也不会影响理论O(N*log(N)) 的边界。