检查一个数字是不是可以表示为两个立方体的和的高效程序

Posted 2023-03-25

【中文标题】检查一个数字是不是可以表示为两个立方体的和的高效程序

【英文标题】：Efficient program to check whether a number can be expressed as sum of two cubes检查一个数字是否可以表示为两个立方体的和的高效程序

【发布时间】：2015-08-22 16:15:51

【问题描述】：

我正在尝试编写一个程序来检查一个数字 N 是否可以表示为两个立方体的总和，即 N = a^3 + b^3

这是我的代码，复杂度为 O(n)：

#include <iostream>
#include<math.h>
#define ll unsigned long long
using namespace std;

int main()

 ios_base::sync_with_stdio(false);
 bool flag=false;
 ll t,N;
 cin>>t;
 while(t--)
 
     cin>>N;
     flag=false;
     for(int i=1; i<=(ll)cbrtl(N/2); i++)
     
       if(!(cbrtl(N-i*i*i)-(ll)cbrtl(N-i*i*i))) flag=true; break;
     
     if(flag) cout<<"Yes\n"; else cout<<"No\n";
 
 return 0;

由于code的时间限制是2s，这个程序是给TLE的吗？谁能建议一个更快的方法

【问题讨论】：

这个问题是从某位网上评委那里提炼出来的吗？

是的...一周前结束的竞赛问题

分享学分，因为这个问题不是你的创造。

【参考方案1】：

我也在 StackExchange 中发布了这个，如果您认为重复，很抱歉，但我真的不知道这些是相同还是不同的板（Exchange 和溢出）。我的个人资料在这里看起来不同。

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有一种更快的算法可以检查给定整数是否是两个立方体 n=a^3+b^3 的和（或差）

我不知道这个算法是否已知（可能是，但我无法在书籍或互联网上找到它）。我发现并用它来计算整数，直到 n

这个过程使用一个技巧

4(a^3+b^3)/(a+b) = (a+b)^2 + 3(a-b)^2)

我们事先不知道什么是“a”和“b”，那么什么是“(a+b)”，但我们知道“(a+b)”当然应该除以 (a ^3+b^3) ，所以如果你有一个快速素数分解例程，你可以快速计算 (a^3+b^3) 的每个除数，然后检查是否

(4(a^3+b^3)/除数 - 除数^2)/3 = 平方

当（如果）找到一个正方形时，你有 divisor=(a+b) 和 sqrt(square)=(a-b) ，所以你有 a 和 b。

如果没有找到正方形，则该数字不是两个立方体的总和。

我们知道除数

现在与其他算法进行一些比较 - 对于 n = 10^18，通过使用蛮力，您应该测试所有低于 10^6 的数字以知道答案。另一方面，要构建 10^18 的所有除数，您需要素数直到 10^9。

你可以放入 10^9 的不同素数的最大数量是 10 (2*3*5*7*11*13*17*19*23*29 = 5*10^9) 所以我们有 2^ 10-1 种不同的素数组合（组合除数）以在最坏的情况下进行检查，其中许多因限制而被丢弃。

为了计算素数，我使用了一个包含前 60.000.000 个素数的表格，它在这个范围内工作得很好。

米格尔·维利利亚

【参考方案2】：

要找到所有整数对 x 和 y 在立方时总和为 n，设置 x到小于n立方根的最大整数，设置y为0，如果立方和y重复加1小于n，如果立方和大于n，则从x中减1，否则输出该对，当x 和 y 交叉。如果只想知道有没有这样的一对，一找到就停下来。

如果您在编码此算法时遇到问题，请告诉我们。

【讨论】：

好吧，我觉得这个算法也在 O(n) 中，并且数字 N 是两个连续立方体的总和，例如 931^3 + 932^3，那么迭代次数将相等到最大整数..这可能效率低下..我确实想过这个

在循环的每一步中，x 会递减或 y 递增，因此该算法需要时间 O(cbrt n ).