检查点是不是位于球的边界/检查 Delaunay 三角剖分的唯一性

Posted 2023-03-16

【中文标题】检查点是不是位于球的边界/检查 Delaunay 三角剖分的唯一性

【英文标题】：Check if points lie on boundary of ball / check uniqueness of a Delaunay triangulation检查点是否位于球的边界/检查 Delaunay 三角剖分的唯一性

【发布时间】：2022-01-17 02:03:10

【问题描述】：

Wikipedia article 关于 d 维中的 Delaunay 三角剖分状态是三角剖分唯一性的先决条件：

如果 P 是一般位置的一组点，则已知 P 存在唯一的 Delaunay 三角剖分；也就是说，P 的仿射壳是 d 维的，并且 P 中没有任何 d + 2 个点的集合位于内部不与 P 相交的球的边界上。

现在我已经编写了自己的 Delaunay 库，我希望能够根据点来验证三角剖分的唯一性。通过计算集合的秩可以很容易地检查仿射壳的维数。然而，第二部分要困难得多。

如何检查 d+2 个点是否位于不与集合相交的球的边界上，并且每个点上都没有一些巨大的循环？或者是否有另一种检查唯一性的方法？

我将 Python 与 Numpy 一起使用，但这更多是一个理论问题，因此语言无关紧要。 谢谢！

【参考方案1】：

您有已经是 Delaunay 三角剖分，即外接球内没有点。现在，例如，对于 2D 情况，只需检查是否可以翻转任何边缘，使其仍然是 Delaunay 三角剖分。如果没有，你有一个独特的解决方案。请注意双精度算术的舍入误差。

【参考方案2】：

对于三角剖分的最大维度的每个 单纯形，使用 d+1 点，您有 d+1 相邻单纯形。两个相邻单纯形共享d 点（自己形成单纯形）。由于我不知道您是否熟悉维度 d 中的工作，让我们来看看维度 2 和 3...

在维度 2 中，最大维度的单纯形是 三角形（维度 2 的单纯形），两个相邻三角形共享一条 边（维度 1 的单纯形）。 在维度 3 中，最大维度的单纯形是 四面体（维度 3 的单纯形），两个相邻的四面体共享一个三角形的面（维度 2 的单纯形）。李>

无论如何，给定维度 d 中的 Delaunay 三角剖分，如果您想检查是否有唯一的三角剖分，请迭代维度 d-1（3D 中的三角形或 2D 中的边）的单纯形，并获取两个事件单纯形（3D 中的两个相邻四面体，或 2D 中的相邻三角形）。这会给你d+2 点。由于三角剖分是 Delaunay，您知道那些 d+2 点的 in_sphere 谓词的结果为正或空。如果在对维度 d 的单纯形进行迭代期间，d+2 点的所有 in_sphere 谓词的结果都是严格正数，那么您的三角剖分是唯一的，否则它是退化的且非唯一的。

看看 Olivier Devlers 和 Sylvain Pion 的论文 Efficient Exact Geometric Predicates for Delaunay Triangulations：引言给出了 Delaunay 三角剖分理论的基础知识，以及 in_sphere 谓词。它还提供了以精确但有效的方式实现orientation 和in_sphere 谓词的线索。这可能有助于您实施 Delaunay 三角测量。

【讨论】：

感谢您的建议和有趣的论文。最初我希望有一些方法可以在没有三角测量的情况下确定唯一性，但似乎我会实施这个解决方案。谢谢！