给定一个数组 A 和 m 个查询

Posted 2023-03-16

【中文标题】给定一个数组 A 和 m 个查询

【英文标题】：Given an array A and m queries

【发布时间】：2019-06-06 12:09:32

【问题描述】：

每个查询都是整数T

为每个查询找到索引 i 和 j 使得

| (|sum of elements from i to j| - T) |

最小

哪里 |x|是 abs(x) 并且数组也可以有负数

我在直接面试中被问到这个问题。 我有找到所有可能的总和并存储它们的索引和排序的解决方案。

所以可能有 n*n 个总和。

这需要 O(n* n* log(n*n))

现在对于每个查询二进制搜索 T 。那将是 O(m* log(n*n))

但他要求优化它。我没有清除回合。

谁能给出提示？

【问题讨论】：

不能为负数吗？

数组的大小可以有多大？也许你可以增加平均。通过将总和存储在地图中以避免重复来提高案例性能。这减少了没有。总和一点。将每个总和转换为正数，因为无论如何我们都要取绝对值。我想到了分段树，但除非我们找到分解 T 的方法，否则这无济于事。

我要求约束，但面试官要求先告诉方法。他说要减少到n*n以下

因为我没有走得更远，所以我没想过要问 T 的范围。你现在能假设它是积极的吗？抱歉

@JimMischel 对于负 T，我们的任务是最小化子数组和的绝对值，它有一个 O(n log n) 解。

【参考方案1】：

如果我们sort the partial sums，例如，

A  = [2, -4,  6, -3,  9]
ps = [2, -2,  4,  1, 10]

sorted = [-2, 1, 2, 4, 10]

和的最小绝对值表示部分和之间的最小差值；在这种情况下，1 和 2，表示总和：

-4 + 6 - 3 = -1

由于我们希望最小化和的另一个绝对值，因此我们希望找到最接近T 的绝对和差。我无法找到一个参考来找到与小于O(n) time 的常数相差最接近的一对，因此，这种方法似乎并不比 O(n * log n + n * m) 好。也许我们可以首先利用哈希或排序查询，因为在我们的搜索过程中，彼此接近的查询代表近距离，但我不确定如何。

【讨论】：

好的，谢谢。复杂度也将是 O(n * log n + m* log n) ？其中 m 是查询数

在这种情况下如果 T=9 或大于 9 会怎样

@JitendraKumhar 你是对的。对部分和的差异进行排序不是正确的方法，因为它们有 O(n^2) 个。相反，我们需要在这些差异中进行搜索。我会编辑。

我接受这个答案，因为我认为这是可以实现的最好的。而且我认为面试官只是期望这个

@JitendraKumhar 听起来不错。谢谢你让我知道。另外，我想提一下，虽然我一般不喜欢这种解决方案，但在范围足够有限的情况下，我认为我们还可以使用 FFT 更有效地记录所有前缀和可能性，并拥有它们可以通过这种方式订购和搜索。

【参考方案2】：

编辑：我认为解决所有问题实际上是巨大的浪费工作。只有当 m >> n 时才有意义。否则这是我的解决方案。

想象一下兔子和乌龟之间的比赛。我希望你知道这个故事... 所以野兔“i”让乌龟“j”先走。他知道他跑得更快，而且他可以打个盹。他只担心乌龟不在视线范围内，“T”米远，然后他跑得很快，直到他看到乌龟并再次入睡......等等。

所以初始化

i = 0
j = 0
bestval = inf
index = none
diff = T

主循环

while(true):
    if diff < 0:
        i++
        diff += A[i] 
    elif j==n:
        break
    else: 
        j++
        diff += A[j]

    # record best distance
    if abs(diff) < bestval:
       bestval = diff
       index = (i, j)

你不能错过最佳的，因为你没有在增加 abs(diff) 的方向上扩展研究。如果你已经有太多了，继续求和是没有意义的......

所以你只用 j 和 i 在 A 上运行两次，每个 T 一次。这应该是 O(mn)。如果 diff = 0，你甚至可以中断循环。

【讨论】：

我不明白我们如何保证在不使用i 撤退的情况下找到最佳差异（使您的想法 O(n^2) 每个查询）。你能解释一下为什么i在我们迭代j时只需要增加而不需要减少吗？

如果数组中有负数，这不起作用。

哦，你是对的，我错过了 A 可能是负数。此解决方案无法检测到可以最佳平衡总和的远负数。