子图上的 MST 递归构造

Posted 2023-03-16

【中文标题】子图上的 MST 递归构造

【英文标题】：MST recursive construction on subgraph

【发布时间】：2020-03-14 15:48:00

【问题描述】：

MST 表示：最小生成树。

给定一个图形 g = (V, E)。将顶点任意划分为 2 个不相交的集合，V1 和 V2。 令 E1 是 V1 中具有两个事件顶点的所有边 令 E2 是 V2 中具有两个事件顶点的所有边 设 E3 是所有边，在 V1 中有一个事件，在 V2 中有一个事件

现在在子图（V1，E1）上构造一个 MST M1，在子图（V2，E2）上构造一个 MST M2。然后在 E3 中添加连接 M1 和 M2 的最低权重边。这是在原始图 g 上构建 MST 的结果吗？

【参考方案1】：

我的答案是否定的。

考虑图 G：顶点：A，B，C，D 边：AB = 1，BD = 10，DC = 3，AC = 2。当它被划分为V1 = A, C V2 = B, D E1 = AC E2 = BD E3 = AB, CD时，根据描述MST是AC, AB, BD ，而真正的 MST 是 AB, AC, CD。

回想一下 Kruskal 算法：边按权重升序排序，不形成循环的边将与 MST 中已存在的边一一添加。 MST 是树，因此将选择 |E|-1 条边（假设 MST 中没有孤立顶点）。如果 |E1| 1，则在整个图 G 上执行 Kruskal 算法时，E3 中的多条边将被添加到 MST。如果MST由M1 M2和E3中最小的边构成，可能会丢失一些边。

此外，如果我们在整个图 G 上实现 Kruskal 算法，则可能会添加多个 E3 中的小边（我们称它们为 E3'）。如果我们在 V1 E1 和 V2 E2 上分别实现 Kruskal 算法，则比 E3' 中的边大的边将被添加到 M1、M2 中。并且只会添加 E3 (E3') 中的最小边。因此，第二个 MST 的总重量大于第一个，它不是真正的 MST。

在任何情况下单独构建 MST 与在整个图表上构建它是相同的吗？

当 E3 只有一条边时：

在整个图 G 上实现 Kruskal 算法时，这条边将被添加到 MST 中，因为它不会与任何边形成循环。并且它不会影响任何其他边缘的决策。

当M1、M2都是无隔离的连通树时 E3 中的顶点和至少 |E3|-1 个边是 E.

当在整个图上执行 Kruskal 算法时，E3 中的最小边将被添加到 MST 中。它不影响在 E1 或 E2 中添加的任何其他边的决定。因为它不会与 E1 或 E2 中的任何边形成循环。而E3中的其他边不会被添加，因为它们是Kruskal算法中要考虑的最后一条边，它们将与MST中已经存在的边形成一个循环。