给定矩形内的最小瓷砖数

Posted 2023-03-16

【中文标题】给定矩形内的最小瓷砖数

【英文标题】：minimum number tiles within given rectangle

【发布时间】：2011-07-28 12:01:09

【问题描述】：

我一直在练习一些编程竞赛题（为了好玩和为即将到来的比赛练习），我一直坚持这个：http://dwite.ca/questions/power_tiles.html

我不确定我应该从哪里开始 =/。 我应该如何处理这个问题才能解决它？

【参考方案1】：

“1、2、4、8 等”会记住你什么？

看图，你会选择什么填充顺序（以大小计）？

【参考方案2】：

我会首先用手找出答案，说半打左右...然后模拟您如何在程序中解决问题...然后在您获得有效的“蛮力”答案后尝试解决更优雅地解决问题。

我会先尝试放置尽可能多的最大尺寸的瓷砖，然后用适合的下一个最大尺寸填充您可以填充的位置。然后变小……直到填满。

您可以使用数组或数组在空间上跟踪填充的空间...但是我怀疑有一种更简单的方法可以通过一些简单的计算来做到这一点...比如取尺寸并取两者中较小的一个并利用 log base 2 或类似的东西......

我确信有一个很好的简洁递归解决方案..基于两个的幂..然后你可以将它解开为一个非递归解决方案......

【参考方案3】：

在我看来像一个动态编程问题

令 F(w,h) 为将 w 与 h 矩形平铺的最小正方形数。

找到 F 的递归公式：

如果 w = 0 或 h = 0 则 F(w, h) = 0

否则，F(w,h) =

For each allowable size a=i^2 <= min(w,h), try to place the a by a square (A)
 in the top left corner.
One of the following possibilities will describe the
 optimal solution:
 +---+--+    +---+--+
 | A | C|    | A |  |
 +---+--+    +---+  |
 |  B   |    |B  |C |
 +------+    +---+--+
 So, choose the best of
   (1 + F(h-a, w) + F(h-a, w-a)) or
   (1 + F(h-a, a) + F(w-a, h))

在餐巾纸上做大 O 分析，这似乎是一个 O(side^2 * sqrt(side))-ish 算法。如果这太多了，您可以：

尝试利用问题中的对称性（例如 F(w,h) = F(h, w)） 再次检查分析以确保它太慢并且您需要其他算法（也许您不需要计算所有 (w,h) 对？） 找出问题的一些属性，以实现更简单、更少详尽的策略。 （例如，尽可能选择最大的方块是一种简单的贪心策略……但它适用于所有情况吗？）

【讨论】：

请注意，相同的公式不适用于图块不是 2 次方的情况。反例参见imgur.com/a/VFIaNbm。

【参考方案4】：

我会通过递归来处理它。

编写一个接收两个整数值作为输入的函数。一个值是长度，另一个是宽度。您可以放入的最大正方形将基于最短的边。其尺寸计算如下：

2^RoundDown(Log(ShortSide,Base:2))

这将为您提供第一个正方形并将矩形分成 3 个或 1 个其他矩形，如果它是边长为 2^n 的正方形，则什么都没有。

通过简单的减法很容易得到剩余矩形的尺寸。计算尺寸后，再次（在其内部）为每个新矩形及其尺寸调用该函数。

当计算的两边的差为零时，函数应该终止，即它是正方形，边长为 2^n。

有点像这样：

Global int Counter
DivideRectangle(int Width, int Length)
    int BigSquare = 2^RoundDown(Log(Width,Base:2))
    if NOT(Width - BigSqaure = 0 AND Height- BigSqaure = 0)
        DivideRectangle(width - BigSquare, Height - BigSquare)
        DivideRectangle(width - BigSquare, BigSquare)
        DivideRectangle(BigSquare, Height - BigSquare)

    Counter += 1

仅此而已；整个操作后返回的计数器是填充矩形的正方形数。显然代码有缺陷，需要改进，但这只是应该发生的事情的概述。