如何使用python解决组合问题？

Posted 2023-03-16

【中文标题】如何使用python解决组合问题？

【英文标题】：How to use python to solve a combination problem?

【发布时间】：2022-01-11 23:18:30

【问题描述】：

我想解决一个组合问题。给定一个变量列表，我想获得由这些变量组成的具有给定顺序的所有多项式项。例如，对于给定的数字列表 [x1, x2, x3] 和 2 的顺序，该函数应返回 [x1^2, x1*x2, x1*x3, x2^2, x2*x3, x3^2] 的列表；对于给定的数字列表 [x1, x2] 和 3 的顺序，该函数应返回 [x1^3, x1^2*x2, x1*x2^2, x2^3] 的列表

如果我在第一个示例中使用 for 循环，代码将如下所示：

for i in range(given_order+1):
    for j in range(given_order+1-i):
        for k in range(given_order+1-j-i):
            list.append(x1^i*x2^j*x3^k)

但是给定列表的长度和给定的顺序都不是固定的，所以for循环的数量是不确定的。我试图使用递归来解决它，但失败了。有人可以帮我解决这个问题吗？

【问题讨论】：

你试过for (a1, a2, ..., an) in itertools.permutations([x1, x2, ..., xn], r=n): list.append(a1 * a2 * ... * an)吗？

@Green Cloak Guy。感谢您的提示，itertools.combinations_with_replacement 可以解决问题。

【参考方案1】：

您可以使用mathmatical induction 编写poly(t, order) -

如果输入t为空，则停止迭代 （归纳）至少有一个t。如果order 小于一，则没有什么可以展开，返回空多项式 （归纳）至少有一个t，而order 至少是一个。 要在组合中包含第一个元素，对于子问题(t, order - 1) 中的所有p，将t[0] 前置到p 和yield 要生成没有第一个元素的所有组合，只需在子问题(t[1:], order) 上重复

def poly(t, order):
  if not t:
    return                        #1
  elif order < 1:
    yield ()                      #2
  else:
    for p in poly(t, order - 1):  #3
      yield (t[0], *p)
    yield from poly(t[1:], order)

与order = 2 -

for p in poly(('x', 'y', 'z'), 2):
  print("*".join(p))

x*x
x*y
x*z
y*y
y*z
z*z

与order = 3 -

for p in poly(('x', 'y', 'z'), 3):
  print("*".join(p))

x*x*x
x*x*y
x*x*z
x*y*y
x*y*z
x*z*z
y*y*y
y*y*z
y*z*z
z*z*z

上面我们使用"*".join(p) 以可读的方式格式化多项式。但是，您可以编写 format 函数将 (x, x) 转换为 x^2 和 (x, z, z) 转换为 x*z^2 -

def format(p):
  mem = dict()
  for x in p:
    mem[x] = mem[x] + 1 if x in mem else 1
  return "*".join(x if e == 1 else f"x^e" for (x,e) in mem.items())

for p in poly(('x', 'y', 'z'), 3):
  print(format(p))

x^3
x^2*y
x^2*z
x*y^2
x*y*z
x*z^2
y^3
y^2*z
y*z^2
z^3

【参考方案2】：

不要拿走@Mulan 非常优雅的答案，但已经有一个内置函数可以代替：

import itertools

order = 3
var = ['x', 'y', 'z']

c = itertools.combinations_with_replacement(var, order)
for i in c:
   print(i)