所有对的异或值之和

Posted 2023-03-13

【中文标题】所有对的异或值之和

【英文标题】：sum of xor values of all pairs

【发布时间】：2014-02-18 17:44:53

【问题描述】：

我们有一个数组 A (say [1,2,3]) 。我们需要找到数组中所有整数对的XOR(^)SUM。 虽然这可以在O(n^2) 中轻松完成，但我怎样才能提高解决方案的复杂性？ 例如，对于上面的数组 A，答案是 (1^2)+(1^3)+(2^3) = 6 谢谢。

【问题讨论】：

“总和”我假设你的意思是按位或。

没有。异或所有不同的对并计算所有这些值的总和。

在这种情况下我得到1^2+1^3+2^3 = 3 + 2 + 1 = 6。

感谢马特..问题已更新。

[1,2,2] 的答案应该是什么？是(1^2)+(1^2)=6，还是1^2=3？如果是第一个，那么就没有必要在问题中指定“不同的对”，因为2^2=0 无论如何都不会影响总和。

【参考方案1】：

你可以分开计算，一次做一点。

例如，查看数组中所有数字的最右边的位。假设a 数字有一个最右边的 0 位，而b 数字有一个 1 位。然后在这些对中，a*b 在 XOR 的最右边位将有 1。这是因为有a*b 方法可以选择一个具有 0 位的数字和一个具有 1 位的数字。因此，这些位将对所有 XOR 的总数贡献a*b。

一般来说，当查看nth 位（其中最右边的位是第 0 位）时，计算有多少个数字有 0（称之为 a_n）以及有多少个有 1（称之为 b_n)。对最终总和的贡献将是 a_n*b_n*2ⁿ。您需要对每一位执行此操作，并将所有这些贡献加在一起。

这可以在 O(kn) 时间内完成，其中k 是给定值中的位数。

【讨论】：

好主意 Interjay！非常感谢:)

好主意。谢谢

这个条件对于数组 [2,3] 是如何成立的，2 和 3 的异或是 1，但结果是 1+2=3。

@RaviSevta 这将给出 1*1​​1 + 2*0*2 = 1 这是正确的。

@RaviSevta 是 1*2*1 + 1*2*2 = 6。对于每个位位置，1 位和 0 位的数量之和必须为 3，因为有 3 个数字在列表中。

【参考方案2】：

这是一个jsFiddle 确认 interjay 的答案，它使用 O(N^2) 与 O(Nk) 两种方法进行计算：

var list = [1,2,2,3,4,5]

function xorsum_on2( a )

    var sum = 0
    for( var i=0 ; i<a.length ; ++i )
        for( var j=i+1 ; j<a.length ; ++j )
            sum += a[i]^a[j]
    return sum


// This sets all elements of a to 0
function xorsum_onk( a )

    var allzeroes;
    var sum = 0;
    var power = 0;
    do 
        allzeroes = true;
        var bitcount = [0,0];
        for( var i=0 ; i<a.length ; ++i )
        
            bitcount[a[i]&1]++;
            a[i] >>= 1;
            if( a[i] ) allzeroes = false;
        
        sum += (bitcount[0]*bitcount[1]) << power++;
     while( !allzeroes );
    return sum;



var onk = document.getElementById("onk")
var on2 = document.getElementById("on2")

on2.innerhtml = xorsum_on2(list)
onk.innerHTML = xorsum_onk(list)

【参考方案3】：

#include <iostream>
using namespace std;

int main() 
    long long int n,i,j,k;

    cin>>n; // number of elements in array 
    long long int arr[n],ans=0;

    for(i=0;i<n;i++)
        cin>>arr[i];

    // iterate through all the bits
    for(i=0;i<32;i++)
    
        k=0; // k is the number of set bits in the array at ith psotion
        for(j=0;j<n;j++)
            if((arr[j] & (1<<i)))
                k++;
        /* there are k set bits and n-k unset bits.
            therefore number of pairs with one set bit and one unset bit is kC1 and n-kC1
            Every pair adds 2^i in the answer.
        */
        ans+= (1<<i)*(k*(n-k));     
    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;

【讨论】：

（这个答案增加了什么？（如果 Matt's answer 包含按位方法，我认为它是边缘的。））