在 Matlab 中确定 SVD 后 U 矩阵的“最大”奇异向量

Posted 2023-03-12

【中文标题】在 Matlab 中确定 SVD 后 U 矩阵的“最大”奇异向量

【英文标题】：Determine the 'greatest' singular vector of U matrix after SVD in Matlab

【发布时间】：2016-10-16 12:38:51

【问题描述】：

已知在Matlab SVD函数输出三个矩阵：[U,S,V] = svd(X)。 实际上，“U”是一个 m X m 方阵，其中 m 是行数/列数。此外，“S”是一个维度为 m X n 的非方阵，它按降序（对角线）存储 n 个奇异值（由 U 矩阵的左奇异向量产生）。

我的问题是如何确定（在 Matlab 中）矩阵“U”的哪些“m”奇异向量对应于“S”矩阵的第一个（最大）奇异值。此外，特定奇异向量的一些值是正的，而另一些是负的。这个减号或加号是否隐藏了任何数学含义？我已经看到使用“最大”奇异向量的符号作为分类目的的示例。

【参考方案1】：

S 矩阵的对角线包含奇异值。所以对于第i个奇异值（在S矩阵的第i，i个位置），第i列的U和V向量分别为两个约束方程。

我不认为 +/- 隐藏任何特殊含义。毕竟，您可以将 U 和 V 矩阵都乘以 -1 常数，结果仍然有效。

【参考方案2】：

为了完全准确，根据定义，SVD 的奇异值不必重新排序，但 MATLAB SVD 会重新排序。

U 的第 i 列对应于 M 的第 i 个奇异值。 即对于第 i 个奇异值 sigma_j，存在 j 使得

M* .u_i = sigma_j v_j

你也有

M. v_j = sigma_i u_i

请注意，它可能不是您想要的。

奇异值的坐标是原始基础中的坐标。正值意味着您的新变量与相应的原始变量成正比。在统计中，当您知道原始变量和转换后的变量同时增加或减少时，通常会使用它。