检查 CRC 多项式的错误检测能力

Posted 2023-03-12

【中文标题】检查 CRC 多项式的错误检测能力

【英文标题】：Checking the error detection capabilities of CRC polynomials

【发布时间】：2016-12-27 03:56:12

【问题描述】：

我试图找出如何计算任意 CRC 多项式的错误检测能力。

我知道有多种错误检测功能可能（或可能不）适用于任意多项式：

检测到单个位错误： 所有 CRC 都可以这样做，因为这只需要 CRC 宽度 >= 1。

检测突发错误： 所有 CRC 都可以检测到大小等于其宽度的突发错误。

检测奇数位错误： 具有偶数项的多项式（这意味着完整的二进制多项式中有偶数个 1 位）的 CRC 可以做到这一点。

检测随机位错误（取决于帧大小）： 我有一个现成的 C 算法，允许计算给定 HD 和多项式的最大帧大小。我没有完全理解它，但它确实有效。

让我们假设一个 16 位 CRC 多项式 x¹⁶+x¹²+x⁵+1 = 0x11021。该多项式可以：

检测所有单位错误（与数据大小无关）。 检测所有高达 16 位宽度的突发错误（与数据大小无关）。 检测所有奇数位错误（因为它有 4 个多项式项；与数据大小无关）。 检测高达 32571 位数据大小的 3 位错误 (HD4)。

上面说的对吗？

是否有额外的 CRC 错误检测功能？如果是，我如何检查（没有深厚的数学知识）任意 CRC 多项式是否支持它们？

【问题讨论】：

这个问题很有趣。对 cs.stackexchange.com 来说可能会更好

@Nayuki：你可能是对的。首先让我们看看这里发生了什么......

【参考方案1】：

这个paper by Koopman and Chakravarty 着眼于 CRC 性能的几个度量，描述了许多多项式的度量和结果。简而言之，“好”多项式的定义取决于它所应用的消息的长度，这因应用而异。主要衡量标准是汉明距离，即为恢复相同的 CRC 必须更改的消息中的最小位数，以及在规定的低误码率下的性能。

【参考方案2】：

g(x) = (x+l)*p(x) 的 n 位 CRC 可以检测到：

长度小于或等于n的所有突发错误。

影响奇数位的所有突发错误。

所有长度等于 n + 1 的突发错误，概率为 (2^(n-1) - l)/2^n - 1

所有长度大于 n + 1 的突发错误，概率为 (2^(n-1) - l)/2^n [CRC-32 多项式将检测所有长度大于 33 的突发错误，概率为 (2 ^32 - l)/2^32;这相当于99.99999998%的准确率]

【讨论】：

l 在g(x) 和概率公式中使用的是什么？它是最大或实际消息长度还是其他？