压缩距离矩阵如何工作？ (pdist)

Posted 2023-03-12

【中文标题】压缩距离矩阵如何工作？ (pdist)

【英文标题】：How does condensed distance matrix work? (pdist)

【发布时间】：2012-10-16 06:49:39

【问题描述】：

scipy.spatial.distance.pdist 返回一个压缩的距离矩阵。来自the documentation：

返回一个压缩距离矩阵 Y。对于每个和 (其中 )，度量 dist(u=X[i], v=X[j]) 被计算并存储在条目 ij 中。

我认为ij 的意思是i*j。但我想我可能错了。考虑

X = array([[1,2], [1,2], [3,4]])
dist_matrix = pdist(X)

然后文档说dist(X[0], X[2]) 应该是dist_matrix[0*2]。但是，dist_matrix[0*2] 是 0，而不是应有的 2.8。

在给定i 和j 的情况下，我应该使用什么公式来访问两个向量的相似性？

【参考方案1】：

你可以这样看：假设x是m乘n。一次选择两个可能的m 行对是itertools.combinations(range(m), 2)，例如m=3：

>>> import itertools
>>> list(combinations(range(3),2))
[(0, 1), (0, 2), (1, 2)]

所以如果d = pdist(x)，combinations(range(m), 2)) 中的kth 元组给出与d[k] 关联的x 行的索引。

例子：

>>> x = array([[0,10],[10,10],[20,20]])
>>> pdist(x)
array([ 10.        ,  22.36067977,  14.14213562])

第一个元素是dist(x[0], x[1])，第二个是dist(x[0], x[2])，第三个是dist(x[1], x[2])。

或者您可以将其视为平方距离矩阵的上三角部分中的元素，串在一起形成一维数组。

例如

>>> squareform(pdist(x)) 
array([[  0.   ,  10.   ,  22.361],
       [ 10.   ,   0.   ,  14.142],
       [ 22.361,  14.142,   0.   ]])

>>> y = array([[0,10],[10,10],[20,20],[10,0]])
>>> squareform(pdist(y)) 
array([[  0.   ,  10.   ,  22.361,  14.142],
       [ 10.   ,   0.   ,  14.142,  10.   ],
       [ 22.361,  14.142,   0.   ,  22.361],
       [ 14.142,  10.   ,  22.361,   0.   ]])
>>> pdist(y)
array([ 10.   ,  22.361,  14.142,  14.142,  10.   ,  22.361])

【讨论】：

我明白了，很有趣。看起来，方形更容易使用。 sq_form[i,j] 将准确地得到 y[i] 和 y[j] 之间的距离。但是，我认为浓缩形式在记忆方面更好。也许我应该多读一点关于 squareform 的内容。但是没有一个简单的公式可以将 i,j 转换为 dist 位置，那么呢？

这是实际记录的行为吗？当然，这是有道理的，但是 API 中的任何内容都使它看起来应该与 combinations(range(m), 2)) 进行比较，这对应于距离矩阵的下三角形。为什么不是鞋面？

为什么说它对应的是下三角呢？例如，list(combinations(range(4), 2)) 给出[(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)]。该列表中的每个元组都有 (row_index, column_index) 的形式，因此它对应于上三角形。

【参考方案2】：

压缩距离矩阵到全距离矩阵

通过使用scipy.spatial.distance.squareform，可以将 pdist 返回的压缩距离矩阵转换为全距离矩阵：

>>> import numpy as np
>>> from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
>>> points = np.array([[0,1],[1,1],[3,5], [15, 5]])
>>> dist_condensed = pdist(points)
>>> dist_condensed
array([  1.        ,   5.        ,  15.5241747 ,   4.47213595,
        14.56021978,  12.        ])

使用squareform 转换为全矩阵：

>>> dist = squareform(dist_condensed)
array([[  0.        ,   1.        ,   5.        ,  15.5241747 ],
       [  1.        ,   0.        ,   4.47213595,  14.56021978],
       [  5.        ,   4.47213595,   0.        ,  12.        ],
       [ 15.5241747 ,  14.56021978,  12.        ,   0.        ]])

点 i,j 之间的距离存储在 dist[i, j] 中：

>>> dist[2, 0]
5.0
>>> np.linalg.norm(points[2] - points[0])
5.0

精简索引的索引

可以将用于访问方阵元素的索引转换为压缩矩阵中的索引：

def square_to_condensed(i, j, n):
    assert i != j, "no diagonal elements in condensed matrix"
    if i < j:
        i, j = j, i
    return n*j - j*(j+1)//2 + i - 1 - j

例子：

>>> square_to_condensed(1, 2, len(points))
3
>>> dist_condensed[3]
4.4721359549995796
>>> dist[1,2]
4.4721359549995796

索引的精简索引

在运行时和内存消耗方面更好的 sqaureform 也可以实现另一个方向：

import math

def calc_row_idx(k, n):
    return int(math.ceil((1/2.) * (- (-8*k + 4 *n**2 -4*n - 7)**0.5 + 2*n -1) - 1))

def elem_in_i_rows(i, n):
    return i * (n - 1 - i) + (i*(i + 1))//2

def calc_col_idx(k, i, n):
    return int(n - elem_in_i_rows(i + 1, n) + k)

def condensed_to_square(k, n):
    i = calc_row_idx(k, n)
    j = calc_col_idx(k, i, n)
    return i, j

例子：

>>> condensed_to_square(3, 4)
(1.0, 2.0)

与 squareform 的运行时比较

>>> import numpy as np
>>> from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
>>> points = np.random.random((10**4,3))
>>> %timeit dist_condensed = pdist(points)
1 loops, best of 3: 555 ms per loop

事实证明，创建 sqaureform 真的很慢：

>>> dist_condensed = pdist(points)
>>> %timeit dist = squareform(dist_condensed)
1 loops, best of 3: 2.25 s per loop

如果我们搜索距离最大的两个点，那么在完整矩阵中搜索 O(n) 而在压缩形式中只有 O(n/2) 也就不足为奇了：

>>> dist = squareform(dist_condensed)
>>> %timeit dist_condensed.argmax()
10 loops, best of 3: 45.2 ms per loop
>>> %timeit dist.argmax()
10 loops, best of 3: 93.3 ms per loop

在这两种情况下，获取两个点的索引几乎都不需要时间，但计算压缩索引当然会有一些开销：

>>> idx_flat = dist.argmax()
>>> idx_condensed = dist.argmax()
>>> %timeit list(np.unravel_index(idx_flat, dist.shape))
100000 loops, best of 3: 2.28 µs per loop
>>> %timeit condensed_to_square(idx_condensed, len(points))
100000 loops, best of 3: 14.7 µs per loop

【讨论】：

我有一个正方形的距离矩阵——有没有转换为压缩形式的函数？ （即与squareform 相反）...像linkage 这样的函数需要压缩形式... EDIT squareform 函数将双向... 方式 i> 酷..."... and vice-versa." EDIT 2 我称“方形”应该是“冗余”EDIT 3 并且链接将与 both 一起使用i> 表格...

@The Red Pea squareform 是它自己的逆矩阵（即，当在一个完整的距离矩阵上运行时，它会将其转换为 squareform）

你是怎么知道calc_row_idx和calc_col_idx的？

@CMCDragonkai 如果我没记错的话，这个想法是从square_to_condensed() 中获取公式，并使用二次公式通过 i 或 j 求解。据我记得，计算有点麻烦，但它只涉及基本代数和一些不可能解决方案的推理（因为它是负数或复数）。绘制一个带有空对角线的示例三角形矩阵会有所帮助。

在 Python 3 中，"Indices to condensed index" 应该使用整数除法 // 而不是浮点除法 /，以便输出是整数。

【参考方案3】：

压缩矩阵的向量对应方阵的底部三角形区域。要转换为该三角形区域中的点，您需要计算三角形左侧的点数，以及列中上方的点数。

可以使用以下函数进行转换：

q = lambda i,j,n: n*j - j*(j+1)/2 + i - 1 - j

检查：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
x = np.random.uniform( size = 100 ).reshape( ( 50, 2 ) )
d = pdist( x )
ds = squareform( d )
for i in xrange( 1, 50 ):
    for j in xrange( i ):
        assert ds[ i, j ] == d[ q( i, j, 50 ) ]

【讨论】：

请注意，它确实是底部三角形区域，这对某些人来说可能很奇怪。

下三角是上三角的转置，因为距离矩阵是对称的，即交换 j,i -> i,j 得到相同的结果。您的解决方案使用了下三角形的解释，但上三角形的版本并没有什么不正确的（我认为这是人们对此更常见的思考方式）

我正试图向相反的方向移动：给定一个压缩距离矩阵（即平面向量）的索引，我怎样才能得到对应的矩阵索引（i，j）值而不将其强制为方形？

squareform 按行序列化距离向量。这意味着较小的索引总是第一个：(0,1),(0,2),(0,3)....

【参考方案4】：

我也有同样的问题。而且我发现使用numpy.triu_indices 更简单：

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
N = 10

# Calculate distances
X = np.random.random((N,3))
dist_condensed = pdist(X)

# Get indexes: matrix indices of dist_condensed[i] are [a[i],b[i]]
a,b = np.triu_indices(N,k=1)

# Fill distance matrix
dist_matrix = np.zeros((N,N))
for i in range(len(dist_condensed)):
    dist_matrix[a[i],b[i]] = dist_condensed[i]
    dist_matrix[b[i],a[i]] = dist_condensed[i]

# Compare with squareform output
np.all(dist_matrix == squareform(dist_condensed))

【参考方案5】：

这是上三角版本（i ），一定有些人会感兴趣：

condensed_idx = lambda i,j,n: i*n + j - i*(i+1)/2 - i - 1

这很容易理解：

使用i*n + j，您可以转到方形矩阵中的位置； - i*(i+1)/2 删除 i 之前所有行中的下三角形（包括对角线）； 使用- i，您可以删除第 i 行中对角线之前的位置； 使用- 1 删除对角线上第 i 行的位置。

检查：

import scipy
from scipy.spatial.distance import pdist, squareform
condensed_idx = lambda i,j,n: i*n + j - i*(i+1)/2 - i - 1
n = 50
dim = 2
x = scipy.random.uniform(size = n*dim).reshape((n, dim))
d = pdist(x)
ds = squareform(d)
for i in xrange(1, n-1):
    for j in xrange(i+1, n):
        assert ds[i, j] == d[condensed_idx(i, j, n)]

【参考方案6】：

如果要访问与平方距离矩阵的第 (i,j) 个元素相对应的 pdist 的元素，计算如下：假设 i < j（否则翻转索引）如果 i == j ，答案是0。

X = random((N,m))
dist_matrix = pdist(X)

那么第 (i,j) 个元素是 dist_matrix[ind] 其中

ind = (N - array(range(1,i+1))).sum()  + (j - 1 - i).

【讨论】：

请注意array(range(1,i+1))).sum() == ((i+1)*i)/2（谷歌为“年轻的高斯”）。

如果我有一个数组array([ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])，N = 5，那么你在第 i 行 = 3 列和第 j = 2 列的公式(5 - np.array(range(1,3+1))).sum() + (2 - 1 - 3) 会给我 7，应该给我 5。

【参考方案7】：

如果有人正在寻找逆变换（即给定元素索引idx，找出与之对应的(i, j) 元素），这里有一个合理的矢量解决方案：

def actual_indices(idx, n):
    n_row_elems = np.cumsum(np.arange(1, n)[::-1])
    ii = (n_row_elems[:, None] - 1 < idx[None, :]).sum(axis=0)
    shifts = np.concatenate([[0], n_row_elems])
    jj = np.arange(1, n)[ii] + idx - shifts[ii]
    return ii, jj

n = 5
k = 10
idx = np.random.randint(0, n, k)
a = pdist(np.random.rand(n, n))
b = squareform(a)

ii, jj = actual_indices(idx, n)]
assert np.allclose(b[ii, jj, a[idx])

我用它来计算矩阵中最近行的索引。

m = 3  # how many closest
lowest_dist_idx = np.argpartition(-a, -m)[-m:]
ii, jj = actual_indices(lowest_dist_idx, n)  # rows ii[0] and jj[0] are closest