如何实现（快速）bigint 除法？

Posted 2023-02-16

【中文标题】如何实现（快速）bigint 除法？

【英文标题】：How to implement (fast) bigint division?

【发布时间】：2012-01-16 17:07:40

【问题描述】：

我目前正在制作自己的 BigInt 类，将数字分成 7 位数字。 （即以 10,000,000 为基数）

我实现了加法、减法和乘法，现在我正在实现除法和 mod。我编写了一个执行长除法除法的代码（通过除以最高有效数字来估计数字），它可以工作。

但是，它太慢了。当我测试108位数字和67位数字的运算时，计算除法需要1.9ms，比其他操作慢得多（计算加法/减法0.007~0.008ms，计算乘法0.1ms）。

像 Karatsuba 和快速乘法的 FFT 算法一样，存在什么算法来计算除法？ Wikipedia 演示了一些除法算法（它计算除数的乘法逆并将其与被除数相乘），但我认为这对我实现除法没有多大帮助。我也读过“大整数方法”部分，但这对我也没有帮助...... :(

【问题讨论】：

好问题，但您可以考虑programmers.stackexchange.com 而不是***。

简单的谷歌搜索展示了关于这个的文章，我认为这不是一件容易的工作，但主要的想法是使用快速乘法，所有的算法都是围绕这个。例如你可以看看fast division in large integers

你有机会开源这个吗？目前还没有一个好的 JS 的 bigint 库。

【参考方案1】：

大整数算术的标准参考是 Donald Knuth 的书计算机编程艺术，第 2 卷，第 4.3 节。他的除法算法基本上是小学算法，有一些小的改进。

顺便说一句，实现大整数运算的most people 使用 2 的幂而不是 10 的幂作为其数字系统的基数。

【参考方案2】：

我建议您查看 GMP library 的源代码并将您需要的功能移植到 javascript，或者了解它是如何完成的。

如果有一个好的算法，这个库很可能会有它；它是根据 LGPL 分发的。

【讨论】：

你也可以使用 LLVM -> javascript (emscripten) 编译器来自动移植整个库

@Raynos 我不会打赌 emscripten 的输出可以从 JS 调用而没有重大痛苦，尤其是跨 emscription 版本。

我读了一些代码（divexact.c 和divegcd.c），似乎包含了按位运算，但我无法实现（因为我表示的是基数为 10^7 的数字） ...

【参考方案3】：

对于相当快速的除法算法，请查看http://myweb.lmu.edu/dmsmith/MComp1996.pdf

它仍然是 O(n^2)，但对于中等长度是有效的。当您使用小于字长的碱基时，它特别适合。几年前，我用 Python 实现了它。代码埋在http://home.comcast.net/~casevh/decint_041.tar.gz 中。查找函数 smithdiv() 和 remaining_norm()。