找到两个数字的公约数的最有效方法，最多为 10^6

Posted 2023-02-16

【中文标题】找到两个数字的公约数的最有效方法，最多为 10^6

【英文标题】：Most efficient way to find the common divisors of two numbers upto 10^6

【发布时间】：2016-11-02 08:37:55

【问题描述】：

我想存储从 1 到 10^6 的所有数字的所有除数。但这似乎太慢了。这是我的代码的 preprocess() 函数：

for(int i=1; i<=1000000; i++)

    for(int j=1; j<=i/2; j++)
    
        if(i%j==0)
            divi[i][j] = true;
    

我是这样使用地图容器的：

map <int, bool> divi[1000010];

然后我试图找到两个给定数字的公约数。

preprocess();

int T, A, B;

cin >> T;

while(T--)

    cin >> A >> B;

    int common = 0;
    for(it = divi[A].begin(); it!=divi[A].end(); it++)
    
        if(divi[B][it->first]==true)
            common++;
    

    cout << common << endl;

我现在应该如何接近以使其足够快？

【问题讨论】：

看Euclidean_algorithm

请注意，divi[B][it->first] == true 将创建一个新的映射条目（如果不存在）。这会变得非常昂贵，尤其是对于素数。

顺便说一句，std::map <int, bool> 可能会被 std::set<int> 替换。

通过使用 sieve 方法，您可以摆脱预处理器方法中的模和除法。

筛法的主要优点是不用检查所有元素，模和除法几乎和乘法一样快。

【参考方案1】：

除了使用 std::map 本身会很昂贵（你不能使用数组吗？）之外，快速的数字胜利是只上升到内部循环中数字的平方根。

for (int j = 1; j * j <= i; j++)

（注意对j 求平方比计算i 的平方根更便宜，并且让您远离浮点计算。）

这必须同时注意如果j 是一个除数，那么i / j 也是一个除数。所以你也需要更换

divi[i][j] = true;

与

divi[i][j] = divi[i][i / j] = true;

此优化以单个数的除数计算为中心。有更快的方法来获取一组 数字的除数，但我的方法可能就足够了。如果没有，请投反对票。

【参考方案2】：

这取决于您想要什么：如果您只想要某些特定数字的公约数，那么欧几里得算法就是解决方案。

如果您真的想要所有数字 1..n 的所有除数的列表，一种解决方案是（类似于筛子）：

  for(int I=1;I<=sqrt(n);++I) 
     for(int j=I;j*I<=n;++j) divi[I*j][j]=divi[I*j][I]=true;
  

原来的代码复杂度是O(N^2)，第一个答案是O(N^1.5)。我相信新公式是 O(N*log N)

【讨论】：

当然你也可以用 I*I