计算二维向量叉积

Posted 2023-02-27

【中文标题】计算二维向量叉积

【英文标题】：Calculating a 2D Vector's Cross Product

【发布时间】：2010-09-19 15:02:07

【问题描述】：

来自***：

叉积是三维欧几里得空间中两个向量的二元运算，产生另一个向量，该向量垂直于包含两个输入向量的平面。

鉴于定义仅定义在三个 (or seven, one and zero) 维度中，如何计算两个二维向量的叉积？

我见过两种实现方式。一个返回一个新向量（但只接受一个向量），另一个返回一个标量（但是是两个向量之间的计算）。

实现 1（返回一个标量）：

float CrossProduct(const Vector2D & v1, const Vector2D & v2) const

    return (v1.X*v2.Y) - (v1.Y*v2.X);

实现 2（返回一个向量）：

Vector2D CrossProduct(const Vector2D & v) const

    return Vector2D(v.Y, -v.X);

为什么会有不同的实现？我将使用标量实现做什么？我将向量实现用于什么？

之所以问，是因为我自己在写一个Vector2D类，不知道用什么方法。

【问题讨论】：

实施 2 是错误的。您需要两个向量来形成叉积。

实现 2 将给定的向量 v 旋转 -90 度。在x' = x cos θ - y sin θ 和y' = x sin θ + y cos θ 中替换-90。此实现的另一种变体是 return Vector2D(-v.Y, v.X);，它会将 v 旋转 +90 度。

@legends2k：值得注意的是，实现 2 是 using the determinant to evaluate the cross product 的扩展：只需删除最后一行和最后一列。这样的扩展总是有N-1 操作数N 维度。

实现 1 计算叉积的幅度。

@MateenUlhaq 之类的，它是“signed 幅度”

【参考方案1】：

实现 1 返回将由输入向量的常规 3D 叉积产生的向量的大小，将其 Z 值隐式设为 0（即将 2D 空间视为 3D 空间中的平面）。 3D 叉积将垂直于该平面，因此具有 0 个 X 和 Y 分量（因此返回的标量是 3D 叉积向量的 Z 值）。

请注意，由 3D 叉积产生的向量的大小也等于两个向量之间的平行四边形的面积，这为实现 1 提供了另一个目的。另外，这个区域是有符号的，可以用来判断从V1旋转到V2是逆时针方向还是顺时针方向。还应注意，实现 1 是由这两个向量构建的 2x2 矩阵的行列式。

实现 2 返回一个垂直于输入向量的向量，仍然在同一个 2D 平面中。不是经典意义上的叉积，而是“给我一个垂直向量”意义上的一致。

请注意，3D 欧几里得空间在叉积运算下是封闭的——也就是说，两个 3D 向量的叉积返回另一个 3D 向量。上述两种 2D 实现方式都与此不一致。

希望这会有所帮助...

【讨论】：

其实实现2是v和指向z方向的单位向量的叉积。

@mattiast：是的。这正是在 3D 中描述 2D 'perp' 操作的方式。

@mattiast：实现 2 可以被认为是使用 determinant to compute the cross product 的扩展 --- 只需删除最后一行和列。应该注意的是，实现 1 等同于：DotProduct(a, CrossProduct(b))，它（非常优雅！）与“垂直点积”的概念一致（这也是实现 1 也 [也许更准确地] 称为！）。

在第一段中，幅度是返回值的绝对值。它与 Z 组件不太一样。正如您在第 2 段中指出的那样，您可以使用十字符号来击退吸血鬼……呃，我的意思是检测向量何时离开与进入多边形的轮廓。

【参考方案2】：

简而言之：这是数学技巧的简写。

详细解释：

您不能在 2D 空间中对向量进行叉积。那里没有定义操作。

但是，假设 2D 向量通过将其 z 坐标设置为零来扩展为 3D，则评估两个向量的叉积通常很有趣。这与在 xy 平面上使用 3D 矢量相同。

如果您以这种方式扩展向量并计算这种扩展向量对的叉积，您会注意到只有 z 分量具有有意义的值：x 和 y 将始终为零。

这就是为什么结果的 z 分量通常简单地返回为标量的原因。例如，此标量可用于查找 2D 空间中三个点的缠绕。

从纯数学的角度来看，2D 空间中的叉积不存在，标量版本是 hack，返回 2D 向量的 2D 叉积根本没有意义。

【讨论】：

“例如用于在 2D 空间中查找三个点的缠绕”@Nils Pipenbrinck，在这种情况下缠绕是什么意思？

@NaderBelal 我想这里的缠绕意味着 - 如果我们从点 a 到 b 再到 c，就我们刚刚跨越的角度而言，我们是顺时针还是逆时针。

【参考方案3】：

叉积的另一个有用属性是它的大小与两个向量之间夹角的正弦有关：

|一个 x b | = |一个| . |b| .正弦（θ）

或

正弦(θ) = |一个 x b | / (|a| . |b|)

因此，在上面的实现 1 中，如果预先知道 a 和 b 是单位向量，那么该函数的结果就是那个 sine() 值。

【讨论】：

...也是向量 a 和向量 b 之间三角形面积的两倍。

【参考方案4】：

实现 1 是两个向量的 perp 点积。我所知道的关于 2D 图形的最佳参考是出色的 Graphics Gems 系列。如果您正在从事 2D 临时工作，那么拥有这些书籍真的很重要。第 IV 卷有一篇名为“Perp Dot 产品的乐趣”的文章，其中介绍了它的很多用途。

perp 点积的一个主要用途是得到两个向量之间角度的缩放sin，就像点积返回缩放的@987654325 @ 的角度。当然，您可以同时使用 点积 和 perp 点积 来确定两个向量之间的角度。

Here 是上面的帖子，here 是 Wolfram Math World 的文章。

【参考方案5】：

一个有用的二维向量运算是返回一个标量的叉积。我用它来查看多边形中的两个连续边是向左还是向右弯曲。

来自Chipmunk2D 来源：

/// 2D vector cross product analog.
/// The cross product of 2D vectors results in a 3D vector with only a z component.
/// This function returns the magnitude of the z value.
static inline cpFloat cpvcross(const cpVect v1, const cpVect v2)

        return v1.x*v2.y - v1.y*v2.x;

【参考方案6】：

我在计算中使用 2d 叉积来为一个物体找到新的正确旋转，该物体在相对于其质心的任意点处受到力矢量的作用。 （标量 Z 一。）