寻找如果 n! + 1 是一个完美的正方形

Posted 2023-02-25

【中文标题】寻找如果 n! + 1 是一个完美的正方形

【英文标题】：Finding if n! + 1 is a perfect square

【发布时间】：2015-08-07 12:04:40

【问题描述】：

我正在尝试编写一个程序来查找一个介于 0 和 100 之间的数字 n，使得 n! + 1 是一个完美的正方形。我正在尝试这样做，因为我知道只有三个，所以这是为了测试我的 Python 能力。

请参阅Brocard's problem。

【问题讨论】：

你为什么失败了？您遇到了什么错误或问题？

这是数论中一个非常有趣的开放式问题：en.wikipedia.org/wiki/Brocard%27s_problem 看起来没有任何优雅的捷径，所以在 [0,100] 中强力搜索 n 可能是最好的选择可以期待。但正如一些答案所指出的那样，使用任意精度整数数学而不是浮点数很重要。

【参考方案1】：

这是另一个仅使用整数的版本，通过添加 2 的递减幂来计算平方根，例如 intsqrt(24680) 将被计算为 128+16+8+4+1。

 def intsqrt(n):
    pow2 = 1
    while pow2 < n:
        pow2 *= 2
    sqrt = 0
    while pow2:
        if (sqrt + pow2) ** 2 <= n:
            sqrt += pow2
        pow2 //= 2
    return sqrt

factorial = 1
for n in range(1, 101):
    factorial *= n
    if intsqrt(factorial + 1) ** 2 == factorial + 1:
        print(n)

【参考方案2】：

math.sqrt 总是返回一个float，即使这个浮点数恰好是4.0。正如文档所说，“除非另有明确说明，否则所有返回值都是浮点数。”

所以，你对type(math.sqrt(x)) == int 的测试永远不会是真的。

您可以尝试通过检查浮点数是否表示整数来解决此问题，如下所示：

sx = math.sqrt(x)
if round(sx) == sx:

甚至有a built-in method 尽可能地做到了这一点：

if sx.is_integer():

但请记住，float 值并不是实数的完美表示，并且总是存在舍入问题。例如，对于一个太大的数字，sqrt 可能四舍五入 为整数，即使它确实不是一个完美的正方形。例如，如果math.sqrt(10000000000**2 + 1).is_integer() 是True，即使显然这个数字不是一个完美的平方。

我可以告诉你这在你的价值观范围内是否安全，但你能说服自己吗？如果不是，你不应该只是假设它是。

那么，有没有一种方法可以检查不受float 道路问题的影响？当然，我们可以使用整数算术来检查：

sx = int(round(math.sqrt(x)))
if sx*sx == x:

但是，正如 Stefan Pochmann 所指出的，即使这个检查是安全的，这是否意味着整个算法都是安全的？不; sqrt 本身可能已经四舍五入到您失去整数精度的程度。

因此，您需要一个准确的sqrt。您可以通过使用具有巨大配置精度的decimal.Decimal 来做到这一点。这将需要一些工作和大量内存，但这是可行的。像这样：

decimal.getcontext().prec = ENOUGH_DIGITS
sx = decimal.Decimal(x).sqrt()

但是ENOUGH_DIGITS 是多少位数字？那么，100!+1 到底需要多少位数字？

所以：

decimal.getcontext().prec = 156
while n <= 100:
    x = math.factorial(n) + 1
    sx = decimal.Decimal(x).sqrt()
    if int(sx) ** 2 == x:
        print(sx)
    n = n + 1

如果您考虑一下，有一种方法可以将所需的精度降低到 79 位，但我将把它作为练习留给读者。

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您大概应该解决这个问题的方法是使用纯整数数学。例如，您可以通过使用Newton's method 来确定一个整数是否是对数时间的平方，直到您的近似误差小到可以检查两个相邻的整数。

【讨论】：

我正在玩decimal 的sqrt 并试图解决您的问题，但遇到了问题。为什么它告诉我 floor(sqrt(8)) 是 3？ from decimal import *; getcontext().prec = 1; getcontext().rounding = ROUND_FLOOR; Decimal(8).sqrt()

@StefanPochmann：很有趣。你必须看看它是如何实现的（和/或运行一些其他测试——它是否给你1.20 的 sqrt 和1.10 和prec=3？），然后看看 IEEE 854 是如何实际定义 @ 987654352@ 以确保它不需要使用此方法或等效方法。但它绝对闻起来像虫子。 （当然这不会影响这种情况，因为int(3) ** 2 == 8 会是假的。）

@StefanPochmann：P.S.，自 2008 年 754 和 854 合并以来，您知道在哪里可以找到 IEEE 854 的最新草案（免费）标准吗？ （我可以找到最终标准的副本，但这可能是侵犯版权，我不想链接到它……）

@StefanPochmann：知道了。 #1388949 已关闭，因为 sqrt 被明确定义为四舍五入，这是 IBM 的 General Decimal Arithmetic Specification 所要求的。显然decimal 模块遵循这个作为它的主要定义，而不是 IEEE 854-1987（它在第 4 节中说“......第 5 节中指定的每个操作。应该像它首先产生一个正确到无限精度的中间结果一样执行，并且具有无限范围，然后将结果四舍五入……”）。

是的，我刚看到#1388949 和其他一些，谢谢。我仍然很不高兴the documentation for sqrt 没有提到它忽略了舍入设置（它只是说“将参数的平方根返回到完全精度。”）。

【参考方案3】：

对于非常大的数字，最好完全避免使用浮点平方根，因为您会遇到太多精度问题，甚至无法保证您会在正确答案的 1 个整数值范围内。幸运的是 Python 本身就支持任意大小的整数，因此您可以编写一个整数平方根检查函数，如下所示：

def isSquare(x):
    if x == 1:
        return True
    low = 0
    high = x // 2
    root = high
    while root * root != x:
       root = (low + high) // 2
       if low + 1 >= high:
          return False
       if root * root > x:
          high = root
       else:
          low = root
    return True

然后你可以像这样遍历从 0 到 100 的整数：

n = 0
while n <= 100:
    x = math.factorial(n) + 1
    if isSquare(x):
        print n
    n = n + 1

【参考方案4】：

math.sqrt 返回的数字绝不是 int，即使它是整数。How to check if a float value is a whole number

【讨论】：

为整数时为什么不返回整数类型？

@PythonNewbie，int 和 integer 不是一回事。前者只是代表后者的一种方式。浮点数也可以准确地表示整数，而且平方根函数总是返回相同的类型更简单、更一致。