关于 JavaScript Math.random() 和基本逻辑的问题

Posted 2023-02-25

【中文标题】关于 JavaScript Math.random() 和基本逻辑的问题

【英文标题】：Question about JavaScript Math.random() and basic logic

【发布时间】：2019-10-18 09:43:11

【问题描述】：

我写了一段简单的代码来比较随机数组的差异，发现了一些我不太明白的东西。

我生成了 2 个用随机数填充的数组 将随机数之间的差异相加 打印出平均差

我原以为结果是接近 0.5 的随机数，但实际上是 0.3333。

为什么随机数数组归位在 0.3 而不是 0.5？

const result = document.getElementById('result');
const generateRandomNrArray = (nrNumbers) => 
	let i;
	let result = [];
	for (i = 0; i < nrNumbers; i++) 
		result.push(Math.random());
	
	return result;

const getArrayDiff = (arr1, arr2) => 
  var diff = 0;
  arr1.forEach(function (v1, index) 
      diff += Math.abs(v1 - arr2[index]);
  );
  return diff;

const run = (nr) => 
  const arr1 = generateRandomNrArray(nr);
  const arr2 = generateRandomNrArray(nr);
  const totalDiff = getArrayDiff(arr1, arr2); 
  
  result.innerhtml = "Average difference:" + (totalDiff / nr);

button font-size: 2em;

<div id="result"></div>
<button id="run" onclick="run(1500)">Click Me</button>

【问题讨论】：

Java 似乎也给出了结果。也许这将有助于解释这种行为？ math.stackexchange.com/questions/637822/…

用 3 个数字再试一次，看看你的平均值是多少。您可能会看到模式

平均差可能趋于0。你说的是绝对差。

【参考方案1】：

这基本上归结为一个限制，这是有道理的。考虑 0 到 10 之间的数字组合，并计算您可以做出的各种差异。

例如，有一种组合，差值为 9 — (0, 9)。有5个相差5个：

[0, 5],  
[1, 6], 
[2, 7], 
[3, 8], 
[4, 9]

但相差1的组合有九种：

[1, 2], 
[2, 3], 

... 
[8, 9]

0 - 10 的计数是：

1: 9, 2: 8, 3: 7, 4: 6, 5: 5, 6: 4, 7: 3, 8: 2, 9: 1

有 45 种组合，这些组合的平均差异是 3.6666 而不是 5，因为较小的差异比较大的差异更多。

当您将粒度从 0 - 10 增加到 0 - 100 时，同样的模式成立。有 99 种组合导致差异 1，只有 50 种差异为 50，平均为 33.6666。

当您在相反方向增加有效数字的数量时，在 0 和 1 之间进行越来越精细的划分，您会发现与极限接近 1/3 时相同的过程。与较大的差异相比，较小的差异会拉低平均差异。对于0-1，在 0.1 的间隔中，您会看到 9 的差异为 0.1，5 的差异为 0.5，在 0.01 时，99 的差异为 0.01，50 的差异为 0.5。随着区间接近 0，差异的平均值接近 1/3。

【讨论】：

是的，使用固定的较大数字而不是细粒度的 0.xxxx 数字，问题变得更容易理解。 “...因为较小的差异比较大的差异更多” 这是一个很好的观点，但它提出了一些问题。为什么平均数不更小呢？例如 0.25。起初，我有一种直觉，由于某种神奇的数学原因，这个数字最终会成为 Math.PI。

@RainerPlumer 当你将区间随机分成两部分时，两部分的平均大小为1/2。如果随机选择两个数字，则将区间分成 3 个部分，每个部分的平均大小为1/3。那么这两个数字的平均差就是1/3。

@Sulthan：您的评论比这里的每个答案都更清晰、更简洁。这本身就是一个很好的答案。

【参考方案2】：

（事实上，您不是在看差异，而是看随机数之间的绝对差异。存在差异。（请原谅双关语））

如果您有两个独立的均匀分布随机变量X, Y ~ U[0,1]，那么它们的绝对差|X-Y| 将遵循triangular distribution，期望为1/3。一切都是应有的。这个分布结果以及计算期望值是概率论中相当标准的作业问题。直觉直接跟随Mark's argument。

这里是绝对和非绝对差异的直方图。在左侧，您会看到较小的绝对差异有更多的质量，这拉低了期望值。

R 代码：

set.seed(1)
xx <- runif(1e5)
yy <- runif(1e5)
par(mfrow=c(1,2))
hist(abs(xx-yy),main="|X-Y|",col="grey",xlab="")
hist(xx-yy,main="X-Y",col="grey",xlab="")

（顺便说一句，如果您有概率/统计问题，我们的姊妹网站CrossValidated 是一个很好的资源。）

【参考方案3】：

这里有一个几何参数来说明为什么结果会收敛到 1/3。

首先，让我们定义 f(x, y) = abs(x - y)。我们需要证明的是，对于X和Y是在[0, 1]中均匀分布的两个独立随机变量，E(X, Y) = 1/3。

如果我们将函数 f 在 3D 中可视化为正方形 [0, 1] x [0, 1] 上的高度场，则 f 下的体积由两个底为半单位正方形的四面体组成，其height 是一个单位高。

E(X, Y) 是 f 下的体积。根据金字塔体积公式，两个四面体中的每一个都有体积 a*h/3，其中 a 是它的底面积，h 是它的高度。这意味着每个四面体的体积为 1/2 * 1 * 1/3 = 1/6，因此 E(X, Y) = 2 * 1/6 = 1/3。

【参考方案4】：

有一个简单自然的方式来看待这个：

如果你有一个区间，比如说<0.0, 1.0>，并且你从区间中随机选择一个数字，你实际上会将区间分成<0.0, x> 和<x, 1.0> 两部分。 每个部分的平均大小（在许多随机数上）将收敛到0.5。

现在，如果您从区间中选择两个随机数，您会将区间分成三部分 <0.0, x>、<x, y> 和 <y, 1.0> (x < y)。如果你在许多随机数上计算每个部分的平均大小，它将收敛到1/3。

这两个数字的平均差就是零件的平均尺寸。

（原为评论）

【参考方案5】：

离散变量法

以 N 个元素细分区间 [0;1]（对应 k=1 到 N，X 将取值 k/N）。稍后我们会让 N 趋于 infty

对于给定的X_k（其中X 持有值k/N），计算平均距离，由下式给出

avgDistance(k) = sum_i=1^k (k-i)/N P(Y=i) + sum_i=k+1^n (i-k)/N P(Y=i)

第一项当 y

第一项求和 0 和 k 之间的距离，所以 1/N(k(k+1)/2)，而第二项求和 1 和 N-k 之间的距离，所以 1/N(N-k)(N-k+1)。 此外，P(Y=i) = 1/N 对于所有 i（因为 Y 是均匀分布的）

因此

avgDistance(k) = 1/N^2 [ k(k+1)/2 + (N-k)(N-k+1)/2 ] = 1/(2N^2) [ 2k^2 + N^2 - 2kN + N ]

终于

avgDistance = sum_k=1^N avgDistance(k) P(X=k) = 1/N sum_k=1^N avgDistance(k) = 1/(2N^3) sum [ 2k^2 + N^2 - 2kN + N ]

想法是简化总和，如 aN^3 + ...项小于 N^3，因此当 N 趋于无穷大时，我们将简单地得到 aN^3/(2N^3) + 趋于 0

sum 2k^2 = 2(N(N+1)(2N+1))/6 ~ 4N^3/6
sum N^2 = N^3
sum -2kN = -2N(N(N+1)/2 ~= -N^3

因此a = 4/6 和avgDistance = 1/3